Interpretación del incremento de ambas variables en un término de interacción

Question

Ejecuto una regresión con un término de interacción similar al siguiente formulario: $$ Y = B_0 + B_1 X_1 + B_2 X_2 + B_3 X_1X_2 $$ donde $Y$ , $X_1$ y $X_2$ son variables continuas. En cuanto a la interpretación, el efecto de un $1$ aumento de la unidad en $X_1$ es: $$ B_1+B_3X_2 $$ Del mismo modo, el efecto de un $1$ aumento de la unidad en $X_2$ es: $$ B_2+B_3X_1 $$ Pero ¿puedo concluir sobre el impacto de $X_1$ y $X_2$ de la misma regresión? ¿O me equivoco al utilizar el mismo resultado dos veces?

¿Hay alguna forma de examinar los efectos incrementales de ambos : $X_1$ en $X_2$ y $X_2$ en $X_1$ ?

Answer 1

Si ambos $X_1$ y $X_2$ aumentar en $1$ -unidad simultáneamente, $Y$ aumentará en $B_1 + B_2 + B_3 + B_3X_{1i} + B_3 X_{2i}$ , donde $X_{1i}$ y $X_{2i}$ son los valores de $X_1$ y $X_2$ de la que partió. El ajuste $B$ se escalan automáticamente a las unidades de sus variables, por lo que el resultado es simplemente la simplificación de una expresión matemática.

\begin {align} \hat Y_i &= \hat B_0 + \hat B_1 X_{1i} \quad\quad\ \ + \hat B_2X_{2i} \quad\quad\ ¡\! + \hat B_3 X_{1i}X_{2i} \\ \hat Y_{i'} &= \hat B_0 + \hat B_1 (X_{1i} +1) + \hat B_2(X_{2i}!+\\\\N1) + \hat B_3 (X_{1i} +1)(X_{2i}!+\1) \\ ~ \\ & \text {restar la primera ecuación de la segunda:} \\ ~ \\ \hat Y_{i'} - \hat Y_i &= \hat B_0 - \hat B_0 + \hat B_1 (X_{1i}\\\\\\N1) - \hat B_1 X_{1i} + \hat B_2(X_{2i}!+\\\\1) - \hat B_2X_{2i} + \\ & \quad\ \hat B_3 (X_{1i}\\\\\\1)(X_{2i}\1\1) - \hat B_3 X_{1i}X_{2i} \\ [8pt] \Delta Y &= \hat B_1X_{1i} + \hat B_1 - \hat B_1X_{1i} + \hat B_2X_{2i} + \hat B_2 - \hat B_2X_{2i} + \\ & \quad\ \hat B_3X_{1i} X_{2i} + \hat B_3 X_{1i} + \hat B_3 X_{2i} + \hat B_3 - \hat B_3 X_{1i}X_{2i} \\ [8pt] \Delta Y &= \hat B_1 + \hat B_2 + \hat B_3 + \hat B_3X_{1i} + \hat B_3 X_{2i} \end {align}

Answer 2

@gung ha respondido a tu tercera pregunta. Pero también preguntaste

¿Pero puedo concluir sobre el impacto de X1 y X2 a partir de la misma regresión? ¿O estoy utilizando erróneamente el mismo resultado dos veces?

Sí, se puede llegar a conclusiones sobre X1 y X2 a partir de la misma regresión, esa es una de las principales motivaciones de la regresión múltiple en lugar de dos regresiones simples. Y no, no estás usando el mismo resultado dos veces, estás cortando el resultado en trozos que te sean útiles.