Para $n >1$ dejemos $\displaystyle f(n)$ sea el número de $n \times n$ matrices reales $A$ tal que $A^2+I=0.$

Question

Me encontré con el siguiente problema que dice:

Para $n >1$ dejemos $\displaystyle f(n)$ sea el número de $n \times n$ matrices reales $A$ tal que $A^2+I=0.$ Entonces, ¿cuál de las siguientes opciones es correcta?
$1.\displaystyle f(n) \equiv 0$
$2.\displaystyle f(n) \equiv \infty$
$3.\displaystyle f(n)=0$ si $n$ es incluso
$4.\displaystyle f(n)=0$ si $n$ es impar.

¿Puede alguien arrojar luz al respecto? Gracias de antemano por su tiempo.

Answer 1

Considere la matriz $$\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}$$ y todos sus conjugados.

Entonces considera lo que sabes sobre las raíces reales de un polinomio real de grado impar.

Answer 2

(a) es incorrecta porque para $n=2$ tenemos $A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ .

(b) es incorrecta porque para $n=3$ el polinomio $\det(A-xI)$ es de grado $3$ y por lo tanto $A$ tiene un valor propio real $\lambda$ . Pero $A^2+I=0$ implicaría $\lambda^2+1=0$ contradicción.

(c) es errónea, de nuevo por el ejemplo $A=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ .

(d) es correcta, de nuevo observando que $\det(A-xI)$ es de grado impar y por lo tanto tiene una raíz real.

Answer 3

No has buscado lo suficiente: si $$A=\pmatrix{0&b\\-\frac1b&0}\;,$$ entonces

$$A^2=\pmatrix{-1&0\\0&-1}\;.$$

Añadido: Recordemos que el polinomio característico de $A$ es de grado $n$ que $A$ satisface su propio polinomio característico, y que todo polinomio real de grado impar tiene al menos una raíz real. Supongamos que $n$ es impar. Entonces $A$ tiene un valor propio real $\lambda$ . Sea $v$ sea un vector propio no nulo para $\lambda$ . Entonces

$$\left(A^2+I\right)v=\lambda^2v+v=0$$

si y sólo si $\lambda^2=-1$ , así que ... ?

Answer 4

Tenga en cuenta que $A^2 = -{\rm I}_n$ , $~{\sf det}(-{\rm I}_n)=(-1)^n~$ y ${\sf det}(A^2) = ({\sf det}A)^2$ . Como una matriz real tiene determinante real, entonces $f(n)=0$ si $n$ es impar. Por el contrario, si $n$ es par, entonces la matriz $$ A=\begin{bmatrix} &&&&& -1 \\ &&&&\cdots \\ &&&-1 \\ && 1 \\ &\cdots \\ 1 \end{bmatrix} $$ satisface $A^2+{\rm I}=0$ . Así, $f(n)\geq 1$ si $n$ es incluso para que entre las opciones enumeradas, el número 4 ( f(n)=0 iff n is odd ) es la única verdadera.