¿Por qué el símbolo de Jacobi en este entorno es un homomorfismo único?

Question

Si $D \equiv 0,1$ mod $4$ un número entero no nulo, ¿por qué el mapa dado por $\chi: (\mathbb Z / D\mathbb Z)^* \rightarrow \{-1,+1\}, \chi([p]) = (D/p)$ para los primos Impares $p$ no dividir $D$ ¿un homomorfismo único? ¿Y por qué es $\chi([-1]) = 1$ si $D > 0$ y $\chi([-1]) = -1$ si $D < 0$ ?

¿Por qué es único? Y por qué sólo se define para los primos Impares $p$ no dividir $D$ ? (Esto ha sido respondido)

¿Alguien puede explicar en detalle por qué es un homomorfismo? Creía que lo tenía... pero no estoy seguro. Para el símbolo de Legendre parece evidente

Si esto no se deduce de $(ab/p) = (a/p)(b/p)$ ?

¿Cómo puedo demostrar que este homomorfismo está bien definido? Estoy bastante seguro de que necesito esto: ¿Por qué el símbolo de Jacobi $(D/m) = (D/n)$ para ciertos $m,n,D$ ?

Answer 1

Para cualquier elemento $[a]$ de $(\mathbb Z/D\mathbb Z)^\times$ existe un primo $p$ con $p\equiv a\pmod D$ (de hecho inifnitas, según Dirichlet). Por lo tanto, necesariamente $\chi([a])=\chi([p])=\left(\frac Dp\right)$ . Esto demuestra la singularidad.

Considerando los primos que dividen $D$ no tiene sentido, porque no aparecen como elementos de $(\mathbb Z/D\mathbb Z)^\times$ . O bien: El símbolo de Jacobi sería $0\notin\{\pm1\}$ .

Si $D>0$ ¿Por qué? $\chi([-1])=1$ ? Dejemos que $p$ sea un primo impar con $p\equiv -1\pmod D$ . Si $D$ es impar y $>1$ entonces $$\left(\frac Dp\right)=(-1)^{\frac{D-1}2\frac{p-1}2}\left(\frac pD\right)=\left(\frac pD\right)=\left(\frac {-1}D\right)=(-1)^{\frac{D-1}2}=1.$$ Si $D$ es uniforme, hay que sacar unos cuantos factores $\left(\frac 2p\right)$ primero; si $4|D$ pero $8\not |D$ Hay dos factores de este tipo, por lo que contribuyen $(\pm1)^2=1$ ; de lo contrario $8|D$ y $p\equiv -1\pmod 8$ implica $\left(\frac2p\right)=1$ .

Se pueden realizar pasos similares para investigar $D<0$ pero tenga en cuenta que $|D|\equiv 0,3\pmod 4$ : En el caso impar, con $p\equiv -1\pmod{|D|}$ $$\begin{align}\left(\frac Dp\right)&=\left(\frac{-1}p\right)\left(\frac{|D|}p\right)\\&=(-1)^{\frac{p-1}2}\cdot(-1)^{\frac{|D|-1}2\frac{p-1}2}\left(\frac p{|D|}\right)\\& =\left(\frac{p}{|D|}\right)=\left(\frac{-1}{|D|}\right)=(-1)^{\frac{|D|-1}2}=-1.\end{align}$$