Cómo demostrar que $\text{pred}_{(A,\prec_A)}(y)=\{x\in A \,|\, x\prec_A y\}$

Question

En el libro de Schimmerling sobre teoría de conjuntos, la pregunta 3.1 dice:

"Dejemos $(A,\prec_A)$ sea una ordenación tal que $A\neq\emptyset$ . para cada $y$ definir $\text{pred}_{(A,\prec_A)}(y)=\{x\in A \,|\, x\prec_A y\}$ .

Supongamos que $S\subsetneq A$ y, para todos $x,y\in A$ Si $y\in S$ y $x\prec_A y$ entonces $x\in S$ .

Demostrar que existe $y\in A$ tal que $S=\text{pred}_{(A,\prec_A)}(y)$ ."

Llevo días intentando encontrar una solución a este problema, y agradecería cualquier pista.

Answer 1

Una pista: Desde $S$ es un subconjunto propio de $A$ , dejemos que $y=\min A\setminus S$ . Demuestre que este es el $y$ que estás buscando.