Flujo de ergódico en tori

Question

Deje $\mathbb{T}^n = { (z_1,\ldots,z_n) \in \mathbb{C}^n : |z_l| = 1, \; 1 \leq l \leq n }$ el valor del $n$-toro, y deje $t_1, \ldots, t_n$ ser arbitraria de números reales. Entonces se puede demostrar que la topológico cierre de $H$ $\mathbb{T}^n$ de la de un parámetro subgrupo $$H' = {(e^{2\pi i t_1 y}, \ldots, e^{2\pi i t_n y}) \in \mathbb{T}^n : y \in \mathbb{R}}$$ es una $r$-dimensiones subtorus de $\mathbb{T}^n$ donde $0 \leq r \leq n$ es la dimensión más de $\mathbb{Q}$ del intervalo de $t_1, \ldots, t_n$, y que además $$\lim_{Y \to \infty} \frac{1}{Y} \int^{Y}_{0}{g(e^{2\pi i t_1 y}, \ldots, e^{2\pi i t_n y}) \: dy} = \int_{H}{g(z) \: d\mu_H(z)}$$ para cualquier función continua $g : \mathbb{T}^n \to \mathbb{C}$ donde $\mu_H$ es el normalizado medida de Haar en $H$.

Mi pregunta es, para los que establece $B \subset \mathbb{T}^n$ tenemos que $$\lim_{Y \to \infty} \frac{1}{Y} \int\limits_{{y \[0,Y] : (e^{2\pi i t_1 y}, \ldots, e^{2\pi i t_n y}) \B}}{dy} = \mu_H(B).$$ Tengo la sensación de que algún tipo de aproximación por funciones continuas que decir, pero me parece que no puede hacer el trabajo por alguna razón.

Answer 1

Supongo que ahora que sé la respuesta a esta pregunta, no me deje sin respuesta! Básicamente, podemos definir la probabilidad de medida $\mu_Y$ por cada $Y > 0$ por $$\mu_Y(B) = \frac{1}{Y} \int\limits_{\{y \in [0,Y] : (e^{2\pi i t_1 y}, \ldots, e^{2\pi i t_n y}) \in B\}}{dy}$$ para cada conjunto de Borel $B \subset \mathbb{T}^n$. El hecho de que $$\lim_{Y \to \infty} \frac{1}{Y} \int^{Y}_{0}{g(e^{2\pi i t_1 y}, \ldots, e^{2\pi i t_n y}) \: dy} = \int_{H}{g(z) \: d\mu_H(z)}$$ para cualquier función continua $g : \mathbb{T}^n \to \mathbb{C}$ donde $\mu_H$ es el normalizado medida de Haar en $H$, implica que la probabilidad de medidas de $\mu_Y$ están convergiendo débilmente a $\mu_H$. Por el Portmanteau teorema, esto es equivalente a $$\mu_H(B) = \lim_{Y \to \infty} \mu_Y(B) = \lim_{Y \to \infty} \frac{1}{Y} \int\limits_{\{y \in [0,Y] : (e^{2\pi i t_1 y}, \ldots, e^{2\pi i t_n y}) \in B\}}{dy}$$ para cada una continuidad set $B \subset \mathbb{T}^n$; es decir, para cada conjunto de Borel $B$ cuyo límite en $\mathbb{T}^n$ $\mu_H$- medida cero.