Rudin capítulo 3 Análisis Funcional problema 3

Question

Supongamos que X es un vector real vectorial espacio (sin topología). Llamamos un punto $x_o\in A\subset X$ un interno punto de $A$ si $A-x_o$ es un conjunto absorbente conjunto.

(a) Supongamos $A $ y $B $ son des conjunto convexo conjuntos en $ X$ , y $A$ tiene un interno punto. Demostrar que existe un punto no constante lineal lineal no constante $f$ en $X $ tal que $f(A)\cap f(B)$ contiene en como máximo un punto.

(b) Mostrar (con $X= \mathbf R^2$ , para ejemplo) que puede no ser posible a tener $f(A)$ y $ f(B)$ disjuntos, en los hipótesis de (a).

Ya había probado la parte (a) pero no soy capaz de entender lo que la parte (b) quiere preguntar.

Gracias por la ayuda de antemano.

Answer 1

Para la parte (b), considere los dos subconjuntos de $\mathbb R^2$ , $$ A = \{ y > 0 \} \cup \{ x < 0,\, y \geq 0 \}$$ y $$ B = \{ (0,0) \}\,. $$ Entonces cualquier línea en $\mathbb R^2$ que pasa por el origen intersectará ambos $A$ y $B$ lo que significa que no es posible separarlos con un funcional lineal.

En concreto, si $f : \mathbb R^2 \to \mathbb R$ es cualquier función lineal, entonces $\ker f$ es una línea que pasa por el origen. Como $\ker f$ se cruza con $A$ y $B$ tenemos $0 \in f(A) \cap f(B)$ . Así, $f(A)$ y $f(B)$ nunca serán disjuntos.