Cómo demostrar que la intersección de dos subconjuntos compactos es compacta

Question

Sea (X,d) un espacio métrico y A,B $\subset$ X sean dos subconjuntos compactos. Mostrar $A\cap B$ también es compacto.

Intenté esta pregunta demostrando que la intersección es acotada y cerrada.

Pero he afirmado que Bounded and Closed $\Rightarrow$ Compacto (Heine-Borel) pero no me di cuenta de que esto sólo es válido para $\mathbb R^n$ .

La mayoría de los otros problemas similares en aquí estaban tratando con $\mathbb R^n$ Entonces, ¿cómo se puede mostrar esto para un espacio general X?

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Esto es cierto para espacios Hausdorff arbitrarios, no sólo para espacios métricos.

Intenta demostrar la siguiente pequeña generalización: cualquier conjunto cerrado en un espacio compacto es compacto. Esto debería ser fácil con la definición habitual de compacidad (cualquier cubierta admite una subcubierta finita). Si insistes en trabajar con espacios métricos, es aún más fácil, utilizando la definición de que un conjunto en un espacio métrico es compacto si toda secuencia tiene una subsecuencia convergente.

Answer 2

En un espacio métrico, cualquier subconjunto compacto es cerrado. En particular, esto significa que $X \setminus B$ está abierta. Para cualquier tapa abierta $\mathscr{O}$ de $A \cap B$ , $\mathscr{O} \cup \{ X \setminus B \}$ será una portada abierta de $A$ . Desde $A$ es un compacto, $\mathscr{O} \cup \{ X \setminus B \}$ tiene una subcubierta finita $\mathscr{F}$ . Es fácil ver $\mathscr{F} \setminus \{ X \setminus B \}$ es una subcubierta finita de $\mathscr{O}$ para $A \cap B$ . Dado que la tapa abierta $\mathscr{O}$ es arbitraria, $A \cap B$ es compacto.

Answer 3

$A$ está cerrado en $X$ Así que $A \cap B$ está cerrado en $B$ . Ahora bien, un subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto.