Cómo probar $\sqrt{n^2 + 1} < n + 1$

Question

¿Cómo voy a demostrar que $\sqrt{n^2 + 1} < n + 1$ si $n>0$ ?

No estoy seguro de si esto se puede demostrar utilizando la inducción o algún otro método.

Answer 1

Sugerencia . Sólo puede observar que, para $n=1,2,\cdots,$ tenemos $$ n^2+1< n^2+2n+1=(n+1)^2. $$

Answer 2

elevando al cuadrado ambos lados obtenemos $$n^2 +1 <n^2 +2n+1 $$ . por lo tanto hecho

Answer 3

$$ (n+1)^2 = n^2 + 2n + 1 > n^2 + 1 $$

Por lo tanto, $n+1 > \sqrt{n^2+1}$ .

Answer 4

Desde $n> 0$ $$\sqrt{n^2+1}< \sqrt{n^2+2n+1}=\sqrt{(n+1)^2}=|n+1|=n+1$$