Sea E⊂S,E≠ϕ acotada por encima. Entonces ∀ϵ>0, ¿es ∃α∈E tal que α+ϵ∉E?

Question

Considere un campo ordenado $S$ con $+,.,<,>,=$ no necesariamente con sus definiciones habituales. Sea $ E \subset S, E \neq \varnothing$ esté acotada por encima. Entonces $ \forall \epsilon > 0$ , lo hace $\exists \alpha \in E$ tal que $\alpha + \epsilon \notin E $ ?

Si la respuesta es afirmativa, ¿cómo se demuestra? Si no, ¿se puede dar un contraejemplo?

Si la afirmación es realmente falsa, ¿es válida para los casos concretos de $S \equiv R$ y $S \equiv Q$ con $+,.,<,>,=$ con su significado habitual?

Answer 1

Esto falla en campos ordenados no arquimédicos. En efecto, supongamos $S$ es no arquimediano, y dejemos que $x,y \in S$ sea tal que $x>0$ es infinitesimal con respecto a $y$ . Esto significa que $nx < y$ para todos $n \in \mathbb{N}$ , donde $$nx = \underbrace{x+x+\cdots+x}_{n \text{ times}}$$ Entonces el conjunto $E = \{ nx \mid n \in \mathbb{N} \} \subseteq S$ está acotado por encima, ya que $y$ es un límite superior para $E$ pero no satisface la propiedad deseada ya que al tomar $\varepsilon = x$ vemos que $\alpha + \varepsilon \in E$ para todos $\alpha \in E$ .

La propiedad hace se mantienen en los campos ordenados de Arquímedes como $\mathbb{R}$ o $\mathbb{Q}$ ya que si existiera $\varepsilon > 0$ tal que $\alpha + \varepsilon \in E$ para todos $\alpha \in E$ Entonces tendríamos $\alpha + n\varepsilon \in E$ para todos $n \in \mathbb{N}$ la propiedad de Arquímedes implicaría entonces que $E$ no tiene límites, al contrario de lo que se supone.

Así que, en resumen, la condición de $S$ que usted afirma es equivalente a $S$ siendo Arquímedes.