Considere un campo ordenado S con +,.,<,>,= no necesariamente con sus definiciones habituales. Sea E⊂S,E≠∅ esté acotada por encima. Entonces ∀ϵ>0 , lo hace ∃α∈E tal que α+ϵ∉E ?
Si la respuesta es afirmativa, ¿cómo se demuestra? Si no, ¿se puede dar un contraejemplo?
Si la afirmación es realmente falsa, ¿es válida para los casos concretos de S≡R y S≡Q con +,.,<,>,= con su significado habitual?
Esto falla en campos ordenados no arquimédicos. En efecto, supongamos S es no arquimediano, y dejemos que x,y∈S sea tal que x>0 es infinitesimal con respecto a y . Esto significa que nx<y para todos n∈N , donde nx=x+x+⋯+x⏟n times Entonces el conjunto E={nx∣n∈N}⊆S está acotado por encima, ya que y es un límite superior para E pero no satisface la propiedad deseada ya que al tomar ε=x vemos que α+ε∈E para todos α∈E .
La propiedad hace se mantienen en los campos ordenados de Arquímedes como R o Q ya que si existiera ε>0 tal que α+ε∈E para todos α∈E Entonces tendríamos α+nε∈E para todos n∈N la propiedad de Arquímedes implicaría entonces que E no tiene límites, al contrario de lo que se supone.
Así que, en resumen, la condición de S que usted afirma es equivalente a S siendo Arquímedes.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
