Prueba $n^4-4n^2$ es divisible por $3$ utilizando la inducción

Question

$n^4 – 4n^2$ es divisible por $3$ para todos $n \geq 0$ .

Ok, así que la ayuda anterior ha estado trabajando en las preguntas hasta ahora. No puedo averiguar cómo "factorizar" ésta. Así que una vez que pruebe el caso base para $n = 0$ (También lo hice para $n =1$ ) Procedo al paso inductivo. Sin embargo, estoy un poco confundido.

Normalmente entiendo que si $S(N) = X$ condición. Hacemos la inducción por, $S(N) + \text{(N +1 additive)} = S(N+ 1)$ . Sin embargo ni idea de cómo hacer esto aquí. Necesito ayuda. <,< ¡Perdón!

Answer 1

HINT $\ $ Poner $\rm\ f(n)\: =\: n^3 - 4\ n\:.\:$ Para demostrar que $\rm\ 3\ |\ n\ f(n)\:$ basta con mostrar $\rm\ 3\ |\ f(n)\:.\:$ Para demostrarlo por inducción, hay que tener en cuenta que $\rm\ 3\ |\ f(n+1)-f(n)\ =\ 3\ (n^2+n-1)\:.\: $ Por lo tanto, deducimos que

$\qquad$ desde $\rm\ \ 3\ |\ f(n+1)-f(n),\ \ $ si $\rm\ \ 3\ |\ f(n)\: \ $ entonces $\rm\ \ 3\ |\ f(n+1)-f(n)+f(n) \ =\ f(n+1)$

que produce el paso inductivo, a saber $\rm\ 3\ |\ f(n)\ \Rightarrow\ 3\ |\ f(n+1)\:.\:$ El paso base es: $\rm\:3\ |\ f(0)\: =\: 0\:.\:$

La misma técnica funciona de forma muy general - ver mis muchos posts anteriores sobre telescopio.

Answer 2

¿Por qué no probar n=0,n=1,n=2? Entonces sólo hay que hacer la inducción por, S(N)+(N +3 aditivo)=S(N+3).

Añadido: $(k+3)^4−4(k+3)^2=(k^4+4k^3\times 3+6k^2\times 3^2+4k\times3^3+3^4)-4(k^2+2k\times 3+3^2)$ $=k^4+3p-4(k^2+3q)=k^4-4k^2+3r$ . Así que es divisible por 3.

Answer 3

Sugerencia: Para hacerlo con inducción, tienes para $n=1, n^4-4n^2=-3, $ que es divisible por $3$ como tú dices. Así que suponga $k^4-4k^2=3p$ para algunos $p$ . Usted quiere probar $(k+1)^4-4(k+1)^2=3q$ para algunos $q$ . Así que expándalo, inserte el $3p$ que conoces, y deberías encontrar que el resto es divisible por $3$ .

Añadido: como señala Srivatsan Narayanan, necesitará que $n^3-n$ es divisible por $3$ . Podemos ver que, como $n^3-n=(n-1)n(n+1)$ y uno de ellos debe ser divisible por $3$ . Pero supongamos que no vemos eso. Podemos decir $1^3-1=0$ es divisible por $3$ . Así que supongamos $k^3-k=3p$ Entonces queremos mostrar $(k+1)^3-(k+1)=3q$ . Pero $(k+1)^3-(k+1)=k^3+3k^2+3k+1-k-1=3p+3k^2+3k=3(p+k^2+k)$ por lo que es divisible por $3$

Answer 4

$n^{4}-4n^{2}=n^{2}(n^{2}-4)$ . $n^2$ es siempre $1\bmod 3$ o $0\bmod 3$ Así que $n^2-4$ es $0\bmod 3$ en ambos casos.