¿Por qué se puede utilizar el valor absoluto de la derivada en la fórmula de cambio de variable unidimensional?

Question

En el libro de Spivak "Calculus on Manifolds", página 67, se hace la siguiente afirmación.

Supongamos que $g: [a,b]\rightarrow\mathbb{R}$ es continuamente diferenciable y $f: \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ es continua. Entonces, \begin {Ecuación} \int_ {g(a)}^{g(b)} f= \int_ {a}^{b}(f \circ g) \cdot g^{ \prime } \end {Ecuación} Se deja al lector que demuestre que si $g$ es 1-1, entonces la fórmula anterior puede escribirse como \begin {Ecuación} \int_ {g((a,b))} f= \int_ {(a,b)} f \circ g \cdot\left |g^{ \prime } \right | \end {Ecuación} Ahora, he tratado de mostrar esto y he llegado al siguiente caso: Sea $f(x)=\sin(x)$ y $g(x)=-\pi x$ entonces \begin {Ecuación} \int_ {g(0)}^{g(1)} f = \int_ {0}^{1}(f \circ g) \cdot g^{ \prime } = \int_ {0}^{1} \sin (- \pi x) \cdot - \pi = \pi\int_ {0}^{1} \sin ( \pi x) = 2 \end {Ecuación} pero \begin {Ecuación} \int_ {g((0,1))} f= \int_ {(0,1)} f \circ g \cdot\left |g^{ \prime } \right | = \int_ {(0,1)} \sin (- \pi x) \cdot\left |- \pi\right | = - \pi\int_ {(0,1)} \sin ( \pi x) = -2 \end {Ecuación} Está claro que las dos fórmulas dan resultados diferentes. La única manera de conciliar las dos es si $\int_{(0,1)}$ en realidad significa $\int_{1}^{0}$ pero no veo por qué sería el caso.

¿Puede alguien explicar por qué mi resultado está en desacuerdo con la afirmación de Spivak?

Answer 1

No estás contradiciendo las fórmulas. La primera de las ecuaciones de Spivak dice, $$\int_0^{-\pi}\sin( x)=\int_0^1\sin(-\pi x)(-\pi)$$ Entonces el segundo dice, $$\int_{-\pi}^0\sin(x)=\int_0^1\sin(\pi x)\pi$$

Obviamente son equivalentes.

Si observas la primera expresión de cada una de tus fórmulas, estás tratando de demostrar que $$\int_{g(a)}^{g(b)}f=\int_{(g(a),g(b))}f$$ lo cual no es necesariamente cierto, como usted mismo ha señalado.