Dado $v, w$ encontrar una matriz $P$ tal que $v = Pw$

Question

¿Cómo puedo demostrar que dados dos vectores no nulos $v, w \in \mathbb{F}_q^2$ existe una matriz $P \in SL_2(\mathbb{F}_q)$ tal que $v = Pw$ ?

Answer 1

Dividido en casos:

Caso 1: Los vectores $v$ y $w$ son linealmente independientes.

Entonces forman una base y podemos definir una transformación lineal $T$ a través de $T(w) = v$ y $T(v) = -w$ . Ahora demuestre que la matriz de la transformación $T$ con respecto a la base estándar es la matriz $P$ que estás buscando.

Caso 2: $w = av$ para algunos $a \in \mathbb F_q$ .

Ampliar $w$ a una base $\{w, w'\}$ y definir $T$ a través de $T(w) = aw$ y $T(w') = \frac{1}{a}w'$ .

Answer 2

Si $V$ es una matriz invertible cuya primera columna es $v$ y $W$ es una matriz invertible cuya primera columna es $w$ , $B = V W^{-1}$ es una matriz tal que $B w = v$ . Ahora multiplica la segunda columna de $V$ o $W$ por un factor adecuado.