Encontrar vecindades disjuntas de dos puntos en $\Bbb R$

Question

Dejemos que $x$ y $y$ sean números reales únicos. ¿Cómo se demuestra que existe una vecindad $P$ de $x$ y un barrio $Q$ de $y$ tal que $P \cap Q = \emptyset$ ?

Answer 1

Sugerencia: abrir intervalos de longitud $e$ centrado en $x$ y $y$ son tales barrios, y si $e$ es lo suficientemente pequeño, no se cruzarán. ¿Cómo de pequeño es $e$ para que esto ocurra?

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, supongamos que $x < y$ . entonces $x\in(-\infty, (x + y)/2)$ y $y \in ((x+y)/2,\infty)$ .

Answer 3

Como enfoque alternativo, demuestre (o haga referencia al hecho) que para dos números reales distintos $x,y$ hay un número racional $q$ que se encuentra entre ellos. Si suponemos (sin pérdida de generalidad) que $x<y$ entonces $(x-1,q)$ y $(q,y+1)$ hacer el truco.