Sé que hay un resultado que dice $x^2\equiv 1\pmod{p}$ tiene solamente $\pm 1$ como soluciones para $p$ un primer impar. Experimentando con $p=2$ muestra que esto ya no es el caso. Corrió unas pruebas en WolframAlpha y notado un patrón que parece ser soluciones de $4$ $x^2\equiv 1\pmod{2^a}$ $a\geq 3$ y son $\pm 1$ y $2^{a-1}\pm 1$. ¿Esto funciona bien para los primera varios casos, pero me pregunto cómo resultaría realmente que estas son las soluciones sólo 4?
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David HAust
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En mi opinión, Hensel del Lexema es un poco exagerado aquí. De todos modos, cuando me enseñan de pregrado de la teoría de números hago hincapié en las conexiones para estudiantes de pregrado de álgebra. Aquí usted está tratando de encontrar los elementos de orden $2$ en lo finito grupo abelian $U(2^a) = (\mathbb{Z}/2^a \mathbb{Z})^{\times}$, por lo que sería muy útil saber cómo este grupo se descompone como producto de grupos cíclicos.
Esta estructura de grupo es generalmente calculada alrededor del mismo tiempo, una muestra que $U(p^a)$ es cíclica, es decir para todos los impares $p$. La respuesta es que para todos los $a \geq 3$, $U(2^a) \cong Z_2 \times Z_{2^{a-2}}$, es decir, es isomorfo al producto de un grupo cíclico de orden $2$ y un grupo cíclico de orden $2^{a-2}$. Ver, por ejemplo, el Teorema 1 aquí para una prueba.
Se puede ver cómo utilizar este resultado para probar su conjetura?
