En mi curso de relatividad especial definimos el 4-momento $P$ como $mU$ donde $U$ es el 4-velocidad y $m$ es la masa en reposo. Entonces, por definición $P$ es un vector 4. Entonces definimos $E$ a través de $E/c = P^0$ y afirmó que $E$ es una cantidad de energía conservada basada en los 2 primeros términos de su expansión de Taylor. Esto se presentó como un paso no completamente riguroso, con alguna mención al teorema de Noether (más allá del alcance del curso), pero a mí me parece mucho peor que eso - no veo cómo da alguna indicación de que $E$ se conserva. En consecuencia, tampoco entiendo por qué se conserva el 4-momento. Dado que estas leyes de conservación sustentan toda la cinemática relativista, esperaría que hubiera una justificación convincente accesible a este nivel, pero no la encuentro. ¿Me estoy perdiendo algo sobre cómo se definen estas cosas?
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A continuación, definimos $E$ a través de $E/c=P^0$ y afirmó que $E$ es una cantidad de energía conservada basada en los 2 primeros términos de su expansión de Taylor.
Taylor expandiéndose $E$ alrededor de $v=0$ da que $E = mc^2 + \frac{1}{2}mv^2 + \mathcal O(v^4)$ lo que significa que a bajas velocidades (ignorando el término constante, porque los desplazamientos constantes de energía son irrelevantes en la mecánica newtoniana), esta definición de $E$ coincide con la definición de energía cinética no relativista.
Supongo que su instructor quería utilizar este hecho para argumentar que esto hace plausible que $E$ es la generalización relativista correcta de la energía cinética. No es una prueba, pero una prueba no parece ser lo que buscaba tu instructor.
En cuanto a que el 4-momento se conserva, generalmente no lo hace, al igual que en la física no relativista. Si el objeto en cuestión está bajo la influencia de algún tipo de fuerza, entonces ni su momento lineal ni su energía cinética van a ser constantes. Si introducimos el concepto de cuatro fuerzas $\mathbf F$ y generalizar la 2ª Ley de Newton a
$$\mathbf F = \frac{d}{d\tau}\mathbf P $$
entonces la conservación del momento y de la energía cinética se produce exactamente de la misma manera que en la física no relativista.
Es mejor tomar la conservación de la energía y el momento como un principio empírico fundamental que sustenta todo lo demás en la física. Puedes demostrarlo a partir de las leyes de Newton, pero eso sólo cubre la mecánica clásica. En realidad la conservación de la energía y el momento es un principio fundamental contenido en la ecuación de Einstein en la relatividad general, y se pueden demostrar dentro de la teoría cuántica de campos, pero esto es mucho más avanzado. Yo prefiero demostrar las leyes de Newton a partir de la conservación de la energía y el momento.
Cuando se extiende la mecánica newtoniana a la relatividad especial se utiliza el principio de que las ecuaciones de la RS deben reducirse a las newtonianas en el límite no relativista. Por este principio puedes encontrar nuevas definiciones adecuadas de energía y momento relativistas, como describes.
Entonces, ¿por qué se conservan la energía y el momento relativistas? Hay dos respuestas ligeramente diferentes. Es un hecho empírico que la energía y el momento se conservan en la mecánica newtoniana. Es razonable postular que las generalizaciones relativistas tienen la misma propiedad (como hizo Einstein). En la actualidad, la conservación de la energía y el momento en los sistemas relativistas también está confirmada por los experimentos y muestra que el postulado es realmente correcto.
También se puede ver la energía y el momento en el sentido de Noether. En este marco, postulamos ciertas simetrías y derivamos las cantidades conservadas a partir de ellas. Las cantidades de energía y momento se definen como cantidades que se conservan como consecuencia de ciertas simetrías. Sin embargo, es importante tener en cuenta que el procedimiento de Noether no es una prueba de que la energía y el momento se conservan, sino que simplemente se derivan de otros principios (en cierto sentido más fundamentales).
Por lo tanto, que se conserven es un hecho observado, al igual que $F=ma$ es "verdadero" porque los experimentos lo confirman.
¡Espero que sea de ayuda! Yo también estaba muy confundido sobre esto cuando estudié el tema.
1) $E$ ser una cantidad conservada es un principio de la física; su teoría debe por la construcción preservar lo que se definió como $E$ . La expansión de Taylor que mencionas es un argumento de plausibilidad para convencerte de que $mU$ es efectivamente la generalización relativista correcta de $E$ en la mecánica newtoniana.
2) Tienes razón en cuanto al teorema de Noether. En pocas palabras, dada una simetría del lagrangiano (que capta información sobre su sistema), existe una cantidad conservada. En esta forma de pensar, (a grandes rasgos) $E$ es la corriente conservada correspondiente a la simetría traslacional de su sistema. Este es el punto clave -
La simetría traslacional es esencialmente la homogeneidad del espacio(tiempo). Si recuerdas, la derivación de las transformaciones de Lorentz asume homogeneidad, isotropía y esas cosas bonitas. Entonces, POR CONSTRUCCIÓN, tu teoría tendrá una corriente conservada correspondiente: la energía.
3) Quizás sea útil señalar que un marco de inercia se define como aquella en la que el espacio es homogéneo e isotrópico, y el tiempo homogéneo (estamos considerando sistemas conservadores, por supuesto). Por construcción, sus bonitas leyes de conservación se deducen. Ver las páginas iniciales de Landau para una discusión.
