Dado $f'(x) = 2f(x)^2$ encontrar la fórmula de recurrencia para $a_n$ en $f(x) =\sum a_n x^n$ .

Question

Dejemos que $f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ con radio de convergencia de $R>0$ . Sabemos que $f'(x) = 2f(x)^2$ . Encuentra la fórmula de recurrencia de $a_n$ .

No sé si hace alguna diferencia pero $f(x)$ debe ser $f:(-1,1)\to\mathbb{R}$ y la relación con la derivada debe ser válida para todo $x\in (-1,1)$ .

Así que se da eso: $f'(x)=2f(x)^2$ . Por lo tanto:

$$ \sum_{n=0}^\infty na_n x^{n-1} = 2\left(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \right)^2$$

Ahora, tenemos un producto de sumas:

$$ \sum_{n=1}^\infty na_n x^{n-1} = 2 \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{k=0}^n a_k a_{n-k} \right)x^n$$

¿Cómo proceder?

Answer 1

Bueno, al principio $$\sum_{n=0}^\infty na_nx^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n=\sum_{n=0}^\infty 2\left(\sum_{k=0}^n a_k a_{n-k} \right)x^n$$ Ahora los coeficientes de grupo con $x^n$ por lo que se obtiene $(n+1)a_{n+1}-2\sum_{k=0}^na_ka_{n-k}=0$ ya que si los coeficientes son distintos de cero, la ecuación no se cumple para todo $x$ .así que $$a_{n+1}=\frac{2\sum_{k=0}^na_ka_{n-k}}{n+1}$$