¿Expandir una función en una serie de Laurent alrededor de un punto?

Question

Tome la función $f(z)=(z^2+3z+2)e^\frac{1}{z+1}$

Queremos ampliarlo en su serie Laurent sobre $z_0$ =-1.

Muy bien, estoy un poco confundido. Esto converge en todas partes menos en -1, lo que me desconcierta. Mi primer pensamiento es empezar a expandirlo usando las propiedades que conozco. Así que, creo que tenemos lo siguiente:

$e^z=1+z+\frac{1}{2!}z^2+\frac{1}{3!}z^3+...$

$\frac{1}{1-(-z)}=1-z+z^2-z^3+z^4-...$

Pero no estoy seguro de cómo ampliar el término $e^\frac{1}{z+1}$ . Parece una composición de expansiones. Además, ¿puedo utilizar una sustitución para tener en cuenta el punto -1? Esto parece que va a resultar muy desordenado. Agradecería cualquier orientación.

Answer 1

Una pista. Puede escribir, simplemente, para $z\neq-1$ , $$e^{\large\frac1{z+1}}=1+\frac1{(z+1)}+\frac1{2!(z+1)^2}+\cdots+\frac1{n!(z+1)^n}+\cdots $$ y $$ (z^2+3z+2)=(z+1)^2+(z+1) $$ luego ampliar $$ \left((z+1)^2+(z+1)\right)\times\left(1+\frac1{(z+1)}+\frac1{2!(z+1)^2}+\cdots+\frac1{n!(z+1)^n}+\cdots\right) $$ ¿Puedes llevarlo desde aquí?

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Establecer $X=z+1$ , se obtiene $$ \begin{align} (X^2+X)\sum_{0}^{\infty}\frac1{n!}\frac1{X^n}&=\sum_{0}^{\infty}\frac1{n!}\frac1{X^{n-2}}+\sum_{0}^{\infty}\frac1{n!}\frac1{X^{n-1}}\\\\ &=\sum_{-2}^{\infty}\frac1{(n+2)!}\frac1{X^{n}}+\sum_{-1}^{\infty}\frac1{(n+1)!}\frac1{X^{n}}\\\\ &=\frac1{X^{-2}}+\sum_{-1}^{\infty}\left(\frac1{(n+2)!}+\frac1{(n+1)!}\right)\frac1{X^{n}}\\\\ &=\frac1{X^{-2}}+\sum_{-1}^{\infty}\frac1{(n+1)!}\left(\frac1{(n+2)}+1\right)\frac1{X^{n}}\\\\ &=\frac1{X^{-2}}+\sum_{-1}^{\infty}\frac{n+3}{(n+2)!}\frac1{X^{n}}\\\\ &=\sum_{-2}^{\infty}\frac{n+3}{(n+2)!}\frac1{X^{n}} \end{align} $$ Entonces la expansión en serie de Laurent de su función es

$$ (z^2+3z+2)e^{\large \frac{1}{z+1}}=\sum_{-2}^{\infty}\frac{n+3}{(n+2)!}\frac1{(z+1)^{n}},\quad z\neq-1. $$