Encuentre la parábola dadas las líneas es diferenciable con

Question

Me han dado dos líneas y me han pedido que las conecte con una parábola; la forma resultante tiene que ser continua y diferenciable (en cualquier punto en el que la parábola se encuentre con una línea, las tasas instantáneas de cambio tienen que ser las mismas. El proyecto en sí consiste en "diseñar una pista de montaña rusa" obteniendo la fórmula de las líneas/parábola que componen la pista).

La parábola es/necesita estar en la fórmula y = ax^2 + bx + c. Necesito encontrar a, b y c.

Así que la línea de la izquierda, L1, tiene una pendiente de 0,7 y se encuentra con la parábola en el punto P, que está en (0, 0)

La recta a la derecha de la parábola, L2, tiene una pendiente de -1,5 y se encuentra con la parábola en el punto Q.

Sé que el punto P y el punto Q están a 40 metros de distancia, por lo que el valor x de Q debe ser 40. Por el enunciado de la pregunta sé que P es mayor que Q.

Esta es mi áspero boceto del gráfico, sólo para poner una imagen a mis palabras. (es aproximado, así que ignora las unidades de medida) Enlace a la imagen.

Conozco las derivadas pero no sé casi nada de parábolas. Sé que mi c = 0 porque c es el intercepto Y y la parábola comienza en el punto P que es el origen. Pero... No sé nada más. No sé ni por dónde empezar. ¿Pueden darme alguna pista o algo? :(

EDIT: Creo que he graficado esto bien con la respuesta que obtuve y la parábola y la segunda línea no se cruzan nunca

Answer 1

Utilice la forma general $y=ax^2+bx+c$ y su derivado, $y'=2ax+b$ con el $(x,y)$ coordenadas y pendientes en los puntos requeridos. Como se ha dicho, usted sabe $c=0$ . Debe encontrar $a$ y $b$ .

Solución suponiendo que $Q(x_Q,y_Q)$ se encuentra en el círculo de radio 40 centrado en $P(0,0)$ :

$f(x)=ax^2+bx$

$f'(x)=2ax+b$

$P$ se encuentra en la parábola y $m_P=0.7$ así que $f'(0)=b=0.7$

Ahora tenemos

$f(x)=ax^2+0.7x$

$f'(x)=2ax+0.7$

Q se encuentra tanto en la parábola como en el círculo. También sabemos que $m_Q=-1.5$ .

(1) $y_Q=ax_Q^2+0.7x_Q$

(2) $x_Q^2+y_Q^2=40^2$

(3) $-1.5=2ax_Q+0.7$

Se trata de un sistema de tres ecuaciones independientes con tres incógnitas, $a$ , $x_Q$ y $y_Q$ . Utilice la sustitución para eliminar primero $x_Q$ y luego otra vez para eliminar $y_Q$ . Ahora puede resolver para $a$ .