Problema práctico de física sobre la distancia entre líneas.

Question

Soy ingeniero de software y estoy desarrollando un juego de fútbol. Tengo una solución para este problema basada en la ley de Newton y estoy usando el método de Newton para resolver la ecuación que obtuve. Estoy aquí porque creo que puede haber una solución mejor para este problema, pero no estoy seguro de cómo empezar. Necesito orientación más que una solución. Creo que puedo estudiar cualquier cosa que pueda conducir a una solución. He tomado un enfoque muy básico de la Física, así que estoy publicando esta pregunta en Matemáticas para ver si consigo ideas lejos de lo que pensaba.

Este es el problema: imagina que un jugador de fútbol le pasa el balón a otro. Este jugador pateará el balón y hará una trayectoria parabólica. Pateará el balón hasta un punto determinado en el que no se encuentre el segundo jugador (receptor); éste correrá hacia él, con una velocidad constante.

Para simplificar, estoy tomando la pelota como una partícula, sin resistencia del aire, y la aceleración infinita para el jugador. Puedes hacer otras simplificaciones para las cosas que no veo.

La trayectoria de la pelota puede dividirse en dos movimientos, uno horizontal uniforme y otro vertical armónico simple.

La pregunta es: ¿cuál es la velocidad que debe aplicarse al balón para que el jugador y el balón lleguen al mismo punto al mismo tiempo? Es decir, ¿cómo debe patear el jugador el balón para que el otro jugador pueda interceptarlo perfectamente?

Hice una ecuación D que es la diferencia de distancia entre el receptor y la pelota cuando el receptor llegó al punto de intercepción, y resolví para D = 0.

La patada tiene angulaciones mínimas y máximas, así que dependiendo de dónde esté el receptor, puede que no haya solución para la ecuación. Tuve que trazar la ecuación para ver los límites y ajustar el algoritmo de Newton para que converja y lo haga rápido, ya que tendrá que encontrar una solución en tiempo de ejecución. No terminó muy bien. Necesito otro enfoque.

Utilicé las ecuaciones básicas de Newton, pero pensé que podría utilizar el álgebra lineal, el punto de aproximación más cercano, para llegar a una solución más simple y literal. O que podría modelar el movimiento del balón y del jugador en un conjunto de ecuaciones diferenciales que pudieran resolverse numéricamente sin las feas manipulaciones que tuve que hacer, y que pudieran utilizarse para resolver otros problemas del juego (solución más genérica).

Answer 1

Si la segunda jugada tiene velocidad $v_2$ metros/segundo y tiene que correr una distancia $d_2$ metros entonces esto tomará tiempo $t=d_2/v_2$ segundos.

Así que si la pelota tiene que viajar una distancia horizontal $d_1$ metros, necesita una velocidad horizontal $v_{horiz}=d_1/t$ metros/segundo. Mientras tanto, necesita una velocidad vertical que significa que está a nivel del suelo después de $t$ segundos y en ese momento su velocidad vertical se ha invertido. Así que $-v_{vert}=v_{vert}-gt$ donde $g$ es la aceleración gravitacional (alrededor de $9.8$ metros/segundo $^2$ ), por lo que $v_{vert}=gt/2$ metros/segundo.

Así pues, la velocidad inicial de la pelota combina la velocidad horizontal y la velocidad vertical y es $$\sqrt{v_{horiz}^2+v_{vert}^2} = \sqrt{\left(\frac{d_1}{t}\right)^2+\left(\frac{g\, t}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{d_1 v_2}{d_2}\right)^2+\left(\frac{g \, d_2}{2v_2}\right)^2} \text{ metres/second}.$$

La tangente del ángulo al que hay que patear el balón es $v_{vert}/v_{horiz}$ por lo que el ángulo es $$\tan^{-1}\left(\frac{g \, d_2^2}{2 d_1 v_2^2}\right).$$

Answer 2

En el momento $t=0$ el tirador está en el origen $O$ y el segundo jugador está en el punto $A:=(a,0)$ , $a>0$ . El tirador elige una dirección horizontal ${\bf u}:=(\cos\phi,\sin\phi)$ un ángulo de inclinación $\theta$ con respecto a la horizontal, y una velocidad inicial $v_0>0$ . Si $\phi=0$ entonces la trayectoria de la pelota puede escribirse como $$t\mapsto\bigl(v_0\cos\theta\ \ t\ , 0\ , v_0\sin\theta\ \ t -{g\over2}t^2\bigr)\qquad(t\geq 0) .$$ Por lo tanto, el tiempo de vuelo $t$ de la bola viene dada por $$t={2v_0\sin\theta\over g}\ ,$$ y la pelota caerá en el punto $B:=r{\bf u}$ a distancia $$r={v_0^2\sin(2\theta)\over g}$$ desde el origen.

El segundo jugador tiene su propia velocidad $v_2$ y en el intervalo de tiempo disponible de longitud $t$ puede correr la distancia $d=v_2 t$ . Si se le exige que llegue a $B$ al mismo tiempo que la bola la ley de los cosenos, aplicada al triángulo $AOB$ , da la ecuación $d^2=a^2+r^2-2 a r\cos\phi$ o $$\sin^2(2\theta) v_0^4 - 2\bigl(a g\sin(2\theta)\cos\phi+2v_2^2\sin^2\theta\bigr)v_0^2 + a^2g^2=0\ .$$ Esta es la única condición que puedo ver. Dado $a$ , $g$ y $v_2$ los parámetros disponibles para el tirador son $v_0$ , $\theta$ y $\phi$ y tiene que elegirlos de manera que se cumpla esta condición.