Dejemos que $X$ sea un espacio métrico compacto y $\mathcal{M}(X)$ sea el conjunto de medidas de probabilidad sobre $X$ equipado con la topología de convergencia débil. Así que $\mathcal{M}(X)$ puede considerarse como un espacio compacto metrizable. Sea $A\subseteq X$ sea cualquier conjunto medible en $X$ es el mapa $$\mathcal{M}(X)\rightarrow [0,1]~,~~P\mapsto P(A)$$ ¿se puede medir?
Respuesta
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El mapa $P\mapsto \int f \,dP$ de $(M(X),{\cal B}(M(X)))$ a $(\mathbb{R},{\cal B}(\mathbb{R}))$ es medible para todas las entidades acotadas, de Borel $f$ en $X$ . En particular, para $f={\bf 1}_A,$ el mapa $P\mapsto P(A)$ es medible.
Prueba: Si $f$ es una función continua, entonces $P\mapsto \int f \,dP$ es continua por la definición de convergencia débil de las medidas, y por lo tanto también es medible.
Ahora aplique el Teorema de la clase funcional monótona . Utilizamos el Teorema 2 en el enlace, con $${\cal H}=\left\{f\in {\cal B}_b(X): P\mapsto \int f\,dP\mbox{ is measurable}\right\},$$ y concluir que ${\cal H}={\cal B}_b(X).$
