Como probablemente sepas, un vector en un $D$ -El espacio de dimensiones puede ser descrito por una dirección y una magnitud. La dirección requiere $D-1$ valores para describir, y la magnitud requiere un valor para describir.
Supongamos que elegimos algún vector unitario direccional $\hat{v}.$ Por "vector unitario" entiendo que tiene magnitud uno. Un vector $z$ que satisface $z \cdot \hat{v} = \sum_j z_j \hat{v}_j = 0$ es perpendicular al vector direccional. El conjunto de todos los vectores que pueden ser perpendiculares a $\hat{v}$ forma un $D-1$ hiperplano dimensional que pasa por el origen. Esto es fácil de ver, porque la restricción de que sea perpendicular a $\hat{v}$ es realmente la ecuación de un $D-1$ plano dimensional en $D$ dimensiones, es decir $$\sum_{j=1}^D \hat{v}_j z_j = 0.$$ Se trata de una combinación lineal de los componentes de $z$ con una intercepción cero. Presenta un comportamiento similar al del plano porque, si se reduce el valor de un componente de $z$ en una cantidad determinada, debe aumentar los valores de otros componentes de forma lineal, de modo que la suma siga llegando a cero.
Cualquier vector de entrada $x$ en un perceptrón puede expresarse como $$x = r \hat{v}$$ donde $r \in \mathbb{R}$ es una magnitud, y $\hat{v} \in \mathbb{R}^D$ es un vector direccional que satisface $|\hat{v}|=1.$ De hecho, el perceptrón sólo se preocupa por la dirección $\hat{v}$ , no la magnitud $r$ . Para ver esto, mira el procedimiento de clasificación de un perceptrón: $$ f(x;w) = \left\{ \begin{split} 1 \hspace{1mm} \text{if} \hspace{1mm} x \cdot w >0 \\ 0 \hspace{1mm} \text{if} \hspace{1mm} x \cdot w \le 0 \end{split} \right. $$ donde $w$ es el vector de pesos del perceptrón y estoy incluyendo implícitamente el componente de sesgo constante a $x.$ Es fácil ver que las condiciones anteriores para $x \cdot w$ se aplican igualmente a $\hat{v} \cdot w.$ De este modo, se puede sustituir $x$ con $\hat{v}$ en la condición anterior y la función del perceptrón no cambia.
Como hemos establecido, un avión en $w$ -puede definirse mediante la ecuación $\hat{v} \cdot w = 0.$ Así, para responder a tu pregunta, es como un vector de entrada puede ser representado por un plano. Para ser más precisos, una entrada dirección define el plano, pero el plano es invariable a la magnitud del vector. (La ecuación de un plano es idéntica si se multiplica todo por una constante). Así que falta una información sobre el plano, con respecto al vector. Sin embargo, como hemos establecido, el algoritmo del perceptrón no se preocupa por la magnitud del vector, así que a todos los efectos, el plano describe el vector por completo, con todo el detalle que nos importa.
Si nuestro valor de $w$ cae en o por debajo del plano definido por una dirección de entrada $\hat{v}$ (donde por "debajo" quiero decir en el lado opuesto del plano que $\hat{v}$ ) entonces el perceptrón clasifica esta entrada como un "cero", de lo contrario la clasifica como un "uno". Para ver por qué es así, sólo tenemos que aprovechar un resultado muy elemental del álgebra lineal, a saber, que $$ |w \cdot \hat{v}| = |w| |\hat{v}| \cos \theta = |w| \cos \theta, $$ donde $\theta$ es el ángulo entre $w$ y $\hat{v}$ (es decir, el ángulo entre $w$ y $x$ ). La condición del perceptrón se convierte entonces en que el punto se clasifica como "uno" si $\theta < \pi/2$ y un "cero" si $\pi/2 \le \theta \le \pi.$
(Para responder a tu pregunta 3, no son diferentes. El vector de entrada es el caso de entrenamiento).
