¿Cómo es posible y cómo se demuestra que el cardinal menos enorme es menor que el cardinal menos compacto (si ambos existen) pero al mismo tiempo el enorme tiene mayor fuerza de consistencia que el cardinal compacto?
Un cardenal $\kappa$ es enorme si y sólo si es incontable y existe un $\kappa$ -Cuidado con el ultrafiltro normal $\mathcal U$ sobre algunos $\mathcal P(\lambda)$ tal que $\{x\in\mathcal P(\lambda)\mid \mathrm{ot}(x\cap \lambda)=\kappa\}\in\mathcal U$ . La ventaja inmediata de esta formulación sobre la que se hace en términos de incrustaciones elementales es que muestra que "hay un cardinal enorme" es una $\Sigma_2$ afirmación, es decir, su verdad puede ser atestiguada en algún $V_\alpha$ (de hecho, cualquier $\alpha$ lo suficientemente grande como para ver los conjuntos relevantes será correcto sobre el hecho de que $\kappa$ es enorme).
Ser supercompacto, o incluso fuertemente compacto, no es una propiedad local, no admite una formulación verificable en cualquier $V_\alpha$ . También ocurre que si $\kappa$ es supercompacto, entonces $V_\kappa\prec_{\Sigma_2} V$ lo que nos da que, si hay un gran cardenal, entonces $V_\kappa$ piensa que hay uno, y por lo tanto realmente hay un enorme cardenal debajo $\kappa$ .
Ahora bien, si $\kappa$ es enorme entonces hay un ultrafiltro normal $U$ en $\kappa$ de manera que haya $U$ -muchos $\alpha<\kappa$ tal que $V_\alpha\models\mathsf{ZFC}+$ "hay un cardenal supercompacto". De hecho, cualquier $\rho$ de tal manera que cualquier $V_\alpha$ cree que el supercompacto es en realidad $\mu$ -supercompacto para todos $\mu<\alpha$ pero no es necesariamente supercompacto.
En cualquier caso, el primer resultado dice que el primer cardinal enorme es estrictamente menor que el primer cardinal supercompacto, en caso de que ambos existan. El segundo dice que, en fuerza de consistencia, ser enorme es mucho más fuerte que ser supercompacto, porque implica la existencia de muchos modelos de conjuntos de $\mathsf{ZFC}+$ "hay un cardenal supercompacto".
Dicho esto, cuando la gente habla de "cardinales compactos", yo suelo entender "fuertemente compactos" en lugar de "supercompactos". Cualquier cardinal supercompacto es fuertemente compacto y "normalmente" ambas clases de cardinales coinciden esencialmente. Sin embargo, es consistente (a través de una elaboración de un famoso resultado de Magidor) que hay cardinales fuertemente compactos y cardinales enormes, y que el menos fuertemente compacto es (mucho) más pequeño que el cardinal menos enorme, véase
MR0550385 (80i:03061) . Morgenstern, Carl F. Sobre la ordenación de ciertos grandes cardenales . J. Symbolic Logic 44 (1979), no. 4, 563-565.
La cuestión es que Magidor demostró que es consistente que el menos fuertemente compacto es también el cardinal menos medible. En esencia, Morgenstern demostró que el argumento de Magidor preserva los cardinales enormes, si existen, pero el cardinal menos enorme es siempre mayor que el menos medible.
Hola, Andrés. Mencionas que si $\kappa$ es supercompacta, entonces $V_{\kappa}$ es un $\Sigma_2$ subestructura elemental de $V$ . ¿Tiene alguna referencia al respecto?
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He aquí una razón por la que tales resultados no son inverosímiles: Normalmente, los resultados de este tipo se demuestran demostrando que una incrustación $j\!:V\to M$ asociado a un gran cardenal $\kappa$ de tipo $A$ es tal que, digamos, $M_{j(\kappa)}$ o algún otro configure es un modelo de la teoría de conjuntos más la afirmación de que existen cardinales grandes de tipo $B$ .
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Esto demuestra que la existencia de cardinales de tipo $A$ implica la consistencia de la existencia de cardinales de tipo $B$ (y normalmente mucho más). Nótese que esto no dice nada sobre la existencia de cardinales de tipo $B$ en $V$ (en lugar de en una estructura del tamaño de un conjunto).
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@Andres: ¿Por qué pones una respuesta en los comentarios? :)
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Llame a $\kappa$ un "tonto cardenal" si es $\aleph_\omega$ pero es regular en $L$ . No es difícil demostrar que si existe un cardinal tonto está muy por debajo del cardinal menos inaccesible, si es que existe. Pero la fuerza de consistencia de un cardinal tonto es la de $0^\#$ que supera con creces a "inaccesible".
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@Asaf No era una respuesta, era realmente un comentario indicando lo que dije, que "tales resultados no son inverosímiles".
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@AsafKaragila. Otro ejemplo, creo, es que si existe un 2-enorme y si existe un supercompacto, entonces el menor 1-enorme es menor que el menor supercompacto. Pero Con ( $\exists$ 1-enorme) implica Con ( $\exists$ supercompacto).
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@DanielWainfleet: ¿No es esta la pregunta del OP?
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@Daniel ¿Por qué empezar con un 2-grande? Sólo añade ruido. Aparte de eso, sólo estás repitiendo la pregunta. A menos que quisieras que la conclusión fuera sobre cardenales 2-enormes en lugar de 1-enormes.
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@AndrésE.Caicedo . Estaba citando un teorema de un pre-print de un libro de texto de hace tiempo.
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@Daniel Se puede hacer mejor, tanto en los supuestos como en la conclusión. Por ejemplo, para cualquier $n<\omega$ el cardinal menor fuerte, si existe, es estrictamente mayor que el cardinal menor $n$ -enorme cardenal, si es que existe. Ser fuerte es mucho más débil que ser supercompacto, y ser $k+1$ -enorme es mucho más fuerte que ser $k$ -Enorme.