¿Puedo escribir un campo eléctrico bidimensional como una función analítica en el plano complejo?

Question

Consideremos un campo eléctrico bidimensional $\textbf{E}=\textbf{E}(\mathbf x)$ , donde $\mathbf x\in \mathbb R^2$ y $\textbf{E}$ es un vector que representa la dirección y la intensidad del campo en ese punto.

Como campo vectorial, $\textbf{E}$ es el gradiente de un campo escalar $\phi(\mathbf x)$ el potencial eléctrico en el punto $\mathbf x$ : $$\textbf{E}(\mathbf x)=\nabla\phi(\mathbf x). $$

Como E es el gradiente de un campo escalar, el rizo de $E$ debe ser cero.

Ahora introduzcamos los números complejos. La entrada y la salida de $E(\mathbf x)$ son ambos vectores bidimensionales, por lo que la entrada y la salida pueden escribirse como dos números complejos. Así que podemos definir que $E(z)$ como una función de valor complejo definida en $\mathbb C$ .

Dado que el rizo de $\textbf{E}$ es cero, $\frac{\partial E_x}{\partial y}=\frac{\partial E_y}{\partial x}$ . Esto es muy similar a una de las ecuaciones de Cauchy Riemann.

Las ecuaciones de Cauchy-Riemann son $$ u_x'=v_y'\\ v_x'=-u_y'. $$ Más detalles sobre las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Pregunta:

Espero que $\textbf{E}(z)$ es analítico, pero aparentemente, no es necesariamente el caso. ¿Hay alguna manera de cambiar esto un poco para que $\textbf{E}(z)$ ¿es analítico? ¿Pueden estudiarse los campos eléctricos mediante funciones analíticas?

Este no es el tipo de cosas que veo en la mayoría de los libros de texto, así que es muy difícil explicar lo que quiero decir. Por favor, asegúrate primero de que entiendes lo que quiero decir antes de dejar un comentario o un voto. Si no soy claro, por favor, pídeme que lo aclare.

No creo que se trate de un duplicado: aunque hay muchos posts en PSE sobre números complejos, suelen ser muy amplios y muchos de ellos sólo tratan de cosas sencillas como la expresión de ondas sinusoidales con exponenciales complejas.

Answer 1

$\def\RR{\Bbb R^2} \def\CC{\Bbb C} \def\bE{{\bf E}} \def\D#1#2{{d#1 \over d#2}} \def\PD#1#2{{\partial#1 \over \partial#2}} \def\curl{\mathop {\rm curl}} \def\div{\mathop {\rm div}}$ Advertencia. Esta es una versión reeditada, en la que el principal cambio ha sido la redefinición de la relación entre $\bE$ y la función holomórfica $E(z)$ . Esto era necesario porque las ecuaciones de Cauchy-Riemann se habían escrito con el signo equivocado. Como consecuencia, algunos signos tuvieron que ser cambiar aquí y allá. Espero no haber introducido así otras erratas involuntarias.

Una aclaración matemática. Un campo eléctrico 2D es un campo vectorial en un espacio vectorial real 2D, es decir, un mapeo $\ \RR\to\RR$ . El campo complejo $\CC$ es un espacio vectorial isomorfo a $\RR$ (como campo vectorial). Tiene una estructura algebraica más rica, ya que en $\CC$ también se define una multiplicación, con propiedades que la convierten en un campo. Pero esto no anula su condición de $\RR\!$ espacio vectorial.

Por lo tanto, es perfectamente legítimo hablar de nuestro campo eléctrico como una función $E:\ \CC\to\CC$ . Al mismo tiempo, las coordenadas $x$ , $y$ en $\RR\!$ son $\Re z$ , $\Im z$ con $z\in\CC$ . Componentes $E_x$ , $E_y$ podría identificarse con $\Re E$ y $\Im E$ si no fuera por un problema de señalización.

No tienes razón en que $\curl \bE=0$ puede verse como una de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. En realidad dice $$\PD{}y\,{\Re E} = -\PD{}x\,{\Im E}$$ por lo que tenemos que ajustar un signo, definiendo $$E_x = \Re E \quad{\rm but}\quad E_y = -\Im E.$$

¿Y la segunda ecuación C-R? Probemos: $$\PD{}x\,{\Re E} = \PD{}y\,{\Im E}.$$ $$\PD{E_x}x = -\PD{E_y} y$$ $$\div \bE = 0.$$ ¡Lo tenemos! Esta es otra ecuación de Maxwell $\bE$ obedece en un dieléctrico homogéneo sin carga.

Por último, sobre el potencial electrostático. Sería bueno que pudiéramos escribir $$E = -\D Wz$$ con $W$ alguna función holomorfa. Obsérvese que $$-\D Wz = -\PD{}x\,(\Re W + i\,\Im W)$$ y (ya que $W$ es holomorfa) el lado derecho también puede escribirse $$-\PD{}x\,\Re W + i\,\PD{}y\,\Re W.$$ Entonces $$E_x = -\PD{}x\,\Re W \qquad E_y = -\PD{}x\,\Re W$$ $$\Re W = \phi.$$

Queda por entender el significado físico de $\Im W$ . ¿Quiere probar? Pista: busca una interpretación de sus curvas de nivel.

Answer 2

No estoy seguro de la pregunta. Pero lo intentaré. Dado que un campo electrostático es irracional es decir $\boldsymbol{\nabla}\times\textbf{E}(\textbf{x})=0$ , equivale a $$\frac{\partial E_x}{\partial y}=\frac{\partial E_y}{\partial x}.\tag{1}$$ Tenga en cuenta que $$ \frac{\partial }{\partial z} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial }{\partial x}- i\frac{\partial}{\partial y} \right), \quad \frac{\partial }{\partial z^*} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial }{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y} \right). $$ Ahora, en coordenadas cartesianas el campo eléctrico se puede descomponer como $$\textbf{E}(\textbf{x})=\textbf{E}(x,y)=\hat{\bf{x}}E_x(x,y)+\hat{\bf{y}}E_y(x,y)$$ cuando se escribe en términos de $(x,y)$ . Escribir en términos de un conjunto diferente de variables independientes $z,z^*$ , $$E_x(x,y)\to \tilde{E}_x(z,z^*),~{\rm and}~E_y(x,y)\to \tilde{E}_y(z,z^*)\tag{2}$$ donde ' $\tilde{}$ ' significa que la dependencia funcional, en general, es diferente. Ahora la relación $(1)$ se convierte en $$i\Big(\frac{\partial}{\partial z}-\frac{\partial}{\partial z^*}\Big)\tilde{E}_x=\Big(\frac{\partial}{\partial z}+\frac{\partial}{\partial z^*}\Big)\tilde{E}_y.\tag{3}$$

Ahora, $f$ es una función analítica de $z$ si $$\frac{\partial f}{\partial z^*}=0.\tag{4}$$ Cuando $\tilde{E}_{x,y}$ son funciones analíticas, satisfarán $\frac{\partial \tilde{E}_x}{\partial z^*}=\frac{\partial \tilde{E}_y}{\partial z^*}=0.$ Por lo tanto, $(3)$ se simplifica a $$\frac{\partial}{\partial z}(\tilde{E}_x+i\tilde{E}_y)=0.$$ Por lo tanto, para $E_x$ y $E_y$ para ser analítico, el condición necesaria es que $\tilde{E}_x+i\tilde{E}_y$ debe ser independiente de $z$ .