Cómo probar $|xe^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}dt-ye^{-y^2}\int_{0}^{y}e^{t^2}dt|<|x-y|$ para $x\ne y$

Question

Dejemos que $x,y$ sean números positivos distintos. Demuestre que $$\left|xe^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}dt-ye^{-y^2}\int_{0}^{y}e^{t^2}dt\right|<|x-y|.$$

Encontré este problema cuando estaba tratando el problema de abajo, pero no puedo resolverlo. Gracias.

Demostrar que $$xe^{-x^2}\int_{0}^{x}e^{t^2}dt$$ es uniformemente continua en $[0,\infty)$ .

Answer 1

Dejemos que $$f(x):=xe^{-x^2}\int_0^xe^{t^2}dt,\quad \forall x\ge 0.$$ Para mostrar $|f(x)-f(y)|<|x-y|$ cuando $x,y\ge 0$ y $x\ne y$ basta con demostrar que $$|f'(x)|<1,\quad \forall x\ge 0.\tag{1}$$

Dejemos que $$g(x):=(2x^2-1)\int_0^xe^{t^2}dt-xe^{x^2}=-e^{x^2}f'(x)\quad\text{and}\quad h(x):=e^{x^2},\quad \forall x\ge 0.$$ Por definición, $(1)$ equivale a $$|g(x)|<h(x),\quad \forall x\ge 0,\tag{2}$$ por lo que basta con demostrar $(2)$ .

Para empezar, hay que tener en cuenta que siempre tenemos

$$\int_0^xe^{t^2}dt\le x h(x), \quad\forall x\ge 0.$$ Cuando $x\in\big[0,\frac{1}{\sqrt{2}}\big]$ , $2x^2-1\le 0$ y $2x(1-x^2)<1$ Así que

$$|g(x)|=-g(x)\le (1-2x^2)xh(x)+xh(x)<h(x).\tag{3}$$ Cuando $x\in\big[\frac{1}{\sqrt{2}},1\big]$ , $0\le (2x^2-1)\le 1$ Así que

$$0\le(2x^2-1)\int_0^xe^{t^2}dt<xh(x)\Longrightarrow |g(x)|=-g(x)<xh(x)\le h(x).\tag{4}$$

Centrémonos ahora en el caso $x\ge 1$ . Tenga en cuenta que $$g'(x)=4x\int_0^xe^{t^2}dt-2e^{x^2}\quad\text{and}\quad g''(x)=4\int_0^xe^{t^2}dt>0.$$ También hay que tener en cuenta que $$h'(1)=2e>g'(1)=4\int_0^1e^{t^2}dt-2e>4\int_0^1\left(1+t^2+\frac{t^4}{2}\right)dt-2e>0.$$ Por lo tanto, $g'(x)>0$ cuando $x\ge 1$ es decir $g$ está aumentando en $[1,+\infty)$ . Desde $g(1)<0$ existe un único $a>1$ , de tal manera que $g(a)=0$ Además, $|g|$ es decreciente en $[1,a]$ y aumentando en $[a,+\infty)$ . En particular, cuando $x\in[1,a]$ ,
$$|g(1)|<h(1)\Longrightarrow |g(x)|\le |g(1)|<h(1)\le h(x).\tag{5}$$ Considerar el caso $x\ge a$ , tenga en cuenta que $$h'(1)>g'(1)>0 \text{ and } h''(x)>g''(x)>0,\ \forall x\ge 1\Longrightarrow h'(x)>g'(x)>0,\ \forall x\ge 1.$$ Como resultado, $$h(a)>g(a)=0 \text{ and } h'(x)>g'(x)>0,\ \forall x\ge a\Longrightarrow h(x)>g(x)>0,\ \forall x\ge a.\tag{6}$$ Peinar $(3-6)$ La prueba de $(2)$ se ha completado.