¿Ejemplo para infinitos puntos con más de una geodésica minimizadora hacia un punto?

Question

Pregunta:

¿Existe una variedad riemanniana, con un punto $p \in M$ y infinitamente muchos puntos $q \in M$ de tal manera que hay más de uno minimizando la geodésica de $p$ a $q$ ?

Editar:

Como se demuestra en la respuesta de Jack Lee, se pueden construir muchos ejemplos de la siguiente manera:

Toma $X$ para ser un colector que tiene un par de puntos $p,q$ con más de una geodésica minimizadora conectándolas. Tomemos $Y$ para ser cualquier colector geodésicamente convexo (riemanniano). Entonces $X \times Y$ satisface el requisito:

En efecto, dejemos que $\alpha,\beta$ sean dos geodésicas diferentes en $X$ de $p$ a $q$ .

Fijar $y_0 \in Y$ y que $y \in Y$ sea arbitraria. Sea $\gamma_y$ sea una geodésica minimizadora en $Y$ de $y_0$ a $y$ . Entonces $\alpha \times \gamma_Y,\beta \times \gamma_Y$ están minimizando de $(p,y_0)$ a $(q,y)$ .

Por lo tanto, si $Y$ es de dimensión positiva (por tanto, infinita), hemos terminado.

Pregunta "abierta": ¿Existen ejemplos que no sean productos? (Esto es probablemente difícil, ni siquiera estoy seguro de qué obstáculos existen para que un colector sea un producto topológico de colectores)

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Tenga en cuenta que para cualquier $p$ el conjunto $$\{q \in M \,| \, \text{there is more than one minimizing geodesic from $ p $ to $ q $} \}$$

es de medida cero.

En efecto, dejemos que $M$ sea una variedad riemanniana conexa, y sea $p \in M$ .

La función de distancia de $p$ , $d_p$ es $1$ -Lipschitz, por lo tanto (por el teorema de Rademacher) diferenciable en casi todas partes.

Es fácil ver que si hay (al menos) dos geodésicas minimizadoras de longitud diferentes desde $p$ a $q$ entonces $d_p$ no es diferenciable en $q$ . (Tenemos dos "candidatos naturales" para los gradientes).

Answer 1

Toma $M$ para ser el siguiente cilindro en $\mathbb R^3$ : $$ M = \{(x,y,z): x^2 + y^2=1\}. $$ Entonces dejemos que $p$ sea el punto $(1,0,0)\in M$ . Si $q$ es cualquier punto de la forma $(-1,0,z)$ entonces hay dos geodésicas minimizadoras desde $p$ a $q$ .

Answer 2

Presentaré dos ejemplos

(1) Considere un toro en $\mathbb{R}^3$

(2) Consideremos un triángulo regular bidimensional $T$ en $\mathbb{R}^2\subset X=\mathbb{R}^3$ Si $U$ es un adecuado tubular barrio de $T$ en $X$ entonces considere $\partial U$ que es homeomorfo a $S^2$

Hay tres puntos $p_i$ en $\partial U$ cuya curvatura gaussiana alcanza el máximo local. Entonces el lugar de corte de $p_1$ ${\rm Cut}\ (p_1)$ es una curva $c:[0,1] \rightarrow \partial U$ entre $p_2$ y $p_3$ Y los puntos interiores $c(t),\ 0<t<1$ tener un multiplicidad $2$ es decir, hay exactamente dos geodésicas minimizadoras desde $p_1$ a $c(t)$

(3) (Hasta donde yo sé) Generalmente, en la variedad riemanniana $M$ Si ${\rm Cut}\ (p)$ no es un conjunto de puntos, entonces los puntos en ${\rm Cut}\ (p)$ de la multiplicidad $\geq 2$ son densos

(4) Otro ejemplo de alta dimensión es $\mathbb{C}P^2$

Answer 3

Entre dos puntos $(p,q)$ en cualquier superficie de revolución hay indefinidamente muchas trayectorias geodésicas posibles.

Al igual que se puede lanzar una piedra entre dos puntos $(p,q)$ situados a diferentes alturas eligiendo una parábola diferente con diferente ángulo de inclinación o ángulo de ataque.

En un problema de valor límite después de especificar $(p,q)$ utilizamos un procedimiento numérico de prueba y error que satisface la acción de la ecuación diferencial.

Dicho esto, sin embargo, hay un mínimo que se puede elegir del conjunto de todas las geodésicas posibles que minimizan la longitud, el tiempo o cualquier función objeto elegida de entre ellas.

La primera minimización respeta sólo el fenómeno, la segunda elige el mínimo de todas las posibilidades de un conjunto que las satisface.