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¿Qué está pasando con "compacto implica compacto secuencialmente"?

He visto tanto contraejemplos como pruebas de "compacto implica compacto secuencial", y no estoy seguro de lo que está pasando.

Aparentemente hay espacios compactos que no son secuencialmente compactos; una rápida búsqueda en Google y consultas en Wikipedia revelarán ejemplos que rondan; tienden a ser variantes de $[0,1]^{[0,1]}$ con la topología del producto. Aquí hay una demostración(?):

$[0,1]^{[0,1]}$ es compacto por el teorema de Tychonoff. Entonces, demostramos la falta de compacidad secuencial.

Elija una representación binaria única para cada $x\in [0,1]$.

Para cada $n\in\mathbb{N}$, sea $f_n : [0,1]\to[0,1]$ (un elemento de $[0,1]^{[0,1]}$) la función que asigna a cada $x$ el dígito de su expansión binaria en la posición $n$.

Sea $f_{n_k}$ una subsecuencia de esta secuencia.

Sea $x'\in [0,1]$ tal que el dígito $n_{2m}$ es $0$ y el dígito $n_{2m+1}$ es $1$, para todo $m\in\mathbb{N}$.

Entonces $f_{n_k} (x')$ no converge (alterna entre $0$ y $1$), y por lo tanto $f_{n_k}$ no puede converger.

Así que hemos encontrado una secuencia en $[0,1]^{[0,1]}$ sin ninguna subsecuencia convergente y por lo tanto no es secuencialmente compacta.

(Aparte: aparentemente esto se basa en un ejemplo en Contraejemplos en Topología de Steen, según http://ncatlab.org/nlab/show/sequentially+compact+space)

No obstante, también hay algunas pruebas(?) flotando alrededor de que la compacidad de un espacio implica compacidad secuencial, siguiendo estas líneas (esta prueba(?) es de la contrapositiva):

Supongamos que $X$ no es secuencialmente compacto.

Por definición, esto significa que hay alguna secuencia $(x_n)$ sobre $X$ sin ninguna subsecuencia convergente.

Si algún $x\in X$ tuviera para cada uno de sus vecindarios $U$ infinitos $n$ para los cuales $x_n \in U$, entonces podríamos definir una subsecuencia convergente de $(x_n)$, contradiciendo nuestra suposición. (Presumiblemente esto se hace eligiendo para cada vecindario un término de índice suficientemente grande en ese vecindario.)

Por lo tanto, para cada $x \in X$ podemos seleccionar un conjunto abierto $U_x$ tal que $x\in U_x$ pero con $x_n \in U_x$ para solo finitos $n$.

La colección $\mathcal{U}=\{U_x : x\in X\}$ es claramente un recubrimiento abierto de $X$.

Si $\mathcal{U}$ tuviera un subrecubrimiento finito $\{U_1, \dots, U_k\}$ entonces la unión $U_1 \cup \cdots \cup U_k$ contendría todo $X$ pero solo contenería $x_n$ para finitos $n$, lo cual es imposible.

Por lo tanto $X$ no es compacto, ya que hemos encontrado un recubrimiento abierto sin un subrecubrimiento finito.

(Aparte: esta prueba es esencialmente la misma que la prueba que aparece en Principios de Análisis Matemático de Rudin para el Teorema 2.37 de que los subconjuntos infinitos de espacios compactos tienen puntos límite.)

Entonces, ¿qué está pasando aquí? No puede ser que tanto el contraejemplo como la prueba nos estén diciendo algo correcto. ¿Hay algún defecto sutil (o más embarazoso para mí - flagrante) en la prueba?

59voto

freespace Puntos 9024

El problema está aquí:

Si para cualquier $x\in X$, tuviera para cada uno de sus vecindarios $U$ infinitos $n$ para los cuales $x_n \in U$, entonces podríamos definir una subsucesión convergente de $(x_n)$, contradiciendo nuestra suposición. (Presumiblemente esto se logra eligiendo para cada vecindario un término con un índice suficientemente grande en ese vecindario).

En espacios topológicos generales esto solo implica que somos capaces de construir una red convergente, no una secuencia convergente. (Un punto $x$ es un punto de acumulación de un subconjunto $S$ $\Leftrightarrow$ existe una red de puntos de $S\setminus\{x\}$ que converge a $x$).

Si $X$ es primero contable en $x$ (el punto $x$ tiene una base numerable), entonces una secuencia se puede construir. (Esto es más o menos estándar. Primero construimos una base decreciente $U_n$ en $x$ y luego elegimos un punto de cada $U_n$). En particular, esto funciona para espacios métricos. Tenga en cuenta que Rudin solo trabaja con subconjuntos compactos de espacios métricos en ese capítulo.

4 votos

Si compacto implica que cada red tiene una subred convergente, ¿eso significa que cada secuencia también tendría una subred convergente pero no necesariamente subsecuencias convergentes? ¿Entonces hay secuencias con subredes convergentes pero sin subsecuencias convergentes?

3 votos

@HritRoy Sí, eso es cierto. También puedes encontrar algunos ejemplos en este sitio. Por ejemplo, esta publicación: Ejemplo de sucesión convergente, cuando no hay una subsucesión convergente. (Fue la primera que pude encontrar, si buscas un poco, podrías encontrar otras publicaciones relacionadas.) O puedes buscar ejemplos de espacios que son compactos, pero no secuencialmente compactos - tanto aquí como en $\pi$-base.

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¿Dónde puedo encontrar una buena prueba de que X es primero contable de este resultado? Un libro sería el mejor escenario. Este resultado se va a utilizar en una revista de Matemáticas Aplicadas y no puedo asumir que el lector tenga tal formación en Topología, ya que algunos de mis lectores podrían haberse graduado en otras áreas en lugar de Matemáticas. Cualquier ayuda al respecto sería absolutamente agradecida.

41voto

Xenph Yan Puntos 20883

La compacidad es equivalente a la compacidad secuencial para espacios métricos; en general, ninguna implica la otra. Creo que el punto en el que tu prueba requiere que estemos trabajando en un espacio métrico es en

Si cualquier $x\in X$ tuviera para cada uno de sus vecindarios $U$ infinitos $n$ para los cuales $x_n\in U$, entonces podríamos definir una subsucesión convergente de $(x_n)$

En un espacio métrico, podemos obtener esta subsucesión tomando bolas de radio $\frac{1}{n}$; en general no podemos.

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¿La regla de Hausdorff asegura que compacidad implica compacidad secuencial (sin introducir una métrica)?

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@Alan no, pero un espacio compacto y primero contable es secuencialmente compacto, y más generalmente un espacio compacto y secuencial es secuencialmente compacto. Los espacios secuenciales son espacios donde la topología puede ser caracterizada por secuencias, y los espacios de primer conteo son secuenciales (pero los espacios de Hausdorff no necesariamente lo son).

19voto

Dick Kusleika Puntos 15230

En general, en los espacios que tenemos el problema, como señalaron otros, es que la topología no necesita ser "determinada por secuencias", como tenemos en espacios métricos o espacios de primer conteo. Una clase de espacios donde sí tenemos que las secuencias son suficientes es la clase de espacios secuenciales, que resultan ser la clase de espacios cociente de espacios métricos. Aquí tenemos que el cierre secuencial siempre es igual al cierre, y para espacios secuenciales de Hausdorff podemos demostrar (por ejemplo, mira esta entrada de blog) bastante fácilmente que la compacidad secuencial es equivalente a la compacidad numerable. Esto último siempre está implicado por la compacidad, de modo que para espacios secuenciales tenemos que la compacidad implica compacidad secuencial (pero no al revés, como muestra $\omega_1$ en la topología del orden).

Otro ejemplo clásico de un espacio compacto de Hausdorff pero no compacto secuencialmente es la compactificación de Cech-Stone de los enteros. Estos espacios fallan en la compacidad secuencial porque son muy grandes, ya que existe un invariante cardinal llamado $\omega_1 \le t \le c$ tal que cada espacio compacto de Hausdorff $X$ de tamaño $\lt 2^t$ siempre es compacto secuencialmente.

1 votos

Por pura admiración, en un modelo de ZF donde solo hay un número contable de ultrafiltros sobre $\omega$, ¿no es la compactificación de Stone-Cech de $\omega$ a lo sumo continuum?

1 votos

Bastante. Entiendo que muchas de las pruebas que mencioné implican de alguna manera la elección. Ni siquiera estoy seguro de que toda la teoría de Cech-Stone se pueda hacer sin elección (como las pruebas de existencia). La topología sin elección se complica bastante rápidamente.

2 votos

La mayoría de las cosas se complican sin elección, debería saberlo, este es el enfoque principal de mi tesis. No estoy familiarizado con la topología sin elección, aunque es un tema que probablemente estudiaré el próximo año. Parece un buen lugar para empezar, supongo.

14voto

DanV Puntos 281

A medida que otros dieron algunas explicaciones al problema, abordaré el problema de la intuición.

Cuando pensamos en espacios [topológicos] normalmente pensamos en espacios bien comportados, como $\mathbb R$ y otros espacios similares y familiares, que suelen ser espacios métricos.

El problema, como se señaló en las otras respuestas, es que no siempre se tiene una base numerable (en un punto, o en absoluto). A veces, nuestro espacio es tan grande que las secuencias no pueden describir la convergencia lo suficientemente bien, y necesitamos una herramienta mucho más fuerte - redes.

Consideremos el espacio compacto $\omega_1+1$ con la topología del orden, donde $\omega_1$ es el menor ordinal innumerable (también conocido como $\aleph_1$). Los conjuntos abiertos son intervalos, y dado un cubrimiento de $\omega_1+1$ por intervalos podemos encontrar una secuencia decreciente de ordinales que son extremos de intervalos formando un subcubrimiento. Una secuencia decreciente de ordinales siempre es finita. Este espacio es compacto.

Ahora consideremos el punto $\omega_1$ en este espacio. No es el límite de ninguna secuencia que no sea la (eventualmente) constante. Esto se debe a que no se puede llegar a $\omega_1$ desde ningún ordinal innumerable con solo $\aleph_0$ pasos.

Esto significa que $\omega_1$ como punto no tiene una base numerable para sus vecindades, ya que cada conjunto abierto que lo contiene es de la forma $(\alpha,\omega_1]$ con $\alpha$ algún ordinal numerable. Por lo tanto, este espacio ni siquiera es primero numerable, y mucho menos segundo numerable (tampoco es separable).

Este espacio es secuencialmente compacto, ya que cada secuencia infinita de ordinales converge a su supremo.

Si eliminamos el punto $\omega_1$, y nuestro espacio es ahora el espacio de todos los ordinales numerables, entonces todavía es secuencialmente compacto pero ya no es compacto (también es primero numerable).

Este es solo un ejemplo relativamente sencillo de por qué los espacios topológicos generales son bestias salvajes y deben abordarse con precaución, y no con espacios euclídeos en mente.

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"cada secuencia infinita de ordinales converge a su supremo". Eso sería cierto para secuencias crecientes, pero no es cierto en general. Por ejemplo, la secuencia $\omega+1,1,2,3,...$ converge a $\omega$, que no es el supremo de la secuencia.

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Sí, y posiblemente la secuencia no converja. Supongo que el texto correcto debería ser "cada secuencia infinita de ordinales contiene una subsecuencia creciente que converge a su supremo". Pero debes disculparme, no tengo prisa por editar una respuesta tan antigua.

7voto

tooshel Puntos 475

La compacidad no implica compacidad secuencial. La parte donde escribiste "presuntamente" en el argumento se basa en la primera contabilidad. En ese caso, donde escribiste "para cada vecindario...", podrías concluir "...en una base contable en $x$."

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