Necesito ayuda para entender la definición formal de un límite

Question

Me habían enseñado la definición formal de un límite con cuantificadores . Para mí es muy difícil de seguir y entiendo muy poco. Me han dicho que: $$\text{If} \ \lim\limits_{x\to a}f(x)=L, \ \text{then:}$$ $$\forall \epsilon, \ (\epsilon > 0) \implies \exists \delta \ (\delta > 0 \ \text{and} \ \forall x, \ ((x\neq a \ \text{and} \ |x-a| < \delta) \implies |f(x)-L| < \epsilon))$$ No tengo ni idea de lo que significa esto. Creo que entiendo la primera parte, que es:

"Para todos $\epsilon$ , si $\epsilon > 0$ entonces existe un $\delta$ tal que $\delta > 0$ ..."

A partir de ahí no lo entiendo. No estoy seguro de que lo que he escrito arriba sea correcto. Me preocupa que esta sea una definición muy importante para entender y memorizar, por lo que necesito su ayuda para entenderla. Algunas preguntas que tengo son:

$1$ . ¿Dónde está el $\epsilon$ y el $\delta$ ¿de dónde viene?

$2$ . ¿Por qué $\epsilon$ y $\delta > 0$ ?

$3$ . ¿Para qué sirven los signos de valor absoluto?

Agradecería mucho la ayuda, ¡gracias!

Answer 1

Lo primero que hay que entender es que $|x-y|$ es la distancia entre $x$ y $y$ .

La idea es que epsilon representa una cantidad arbitrariamente pequeña de cercanía a $L$ por lo que epsilon se elige positivo porque las distancias son positivas. Hay que pensar que epsilon es muy pequeño. Estamos diciendo que para cualquier distancia pequeña epsilon de $L$ si nos fijamos sólo en los valores del dominio de $f$ que están muy cerca (a una distancia delta) de $a$ luego sus imágenes a través de $f$ estará muy cerca (a una distancia de epsilon) de $L$ . La clave es que para cada valor de epsilon podemos encontrar un delta lo suficientemente pequeño. Por lo tanto, si epsilon es muy pequeño, puede que tengamos que elegir un delta muy pequeño, pero aún así podemos encontrar uno.

Así que la cuestión es que si queremos $f(x)$ para estar muy cerca de $L$ entonces podemos garantizar que esto sucederá cuando $x$ está muy cerca de $a$ . Sin embargo, no exigimos que $f(a)$ es igual (o casi) a $L$ porque queremos considerar sólo lo que ocurre con $f(x)$ como $x$ "enfoques" $a$ .

La mejor manera de ilustrar esto es con una imagen que, por supuesto, no puedo dibujar aquí. Quizás tu profesor o alguien más pueda ayudarte con esto en persona.

Me di cuenta mientras escribía esto que podría seguir y seguir tratando de aclarar este concepto pero creo que me detendré aquí y espero haber aclarado un poco las cosas. Es importante ver muchos ejemplos de funciones y entender si son continuas o no. Merece la pena pensar en ello hasta que tenga un sentido intuitivo para ti.

Answer 2

La respuesta de Seth aquí hace más que suficiente para exponer la intuición detrás de la definición de un límite. Pero tengo la sensación de que tienes problemas para desenredar la definición en sí. Así que creo que esto podría ser útil. Esto es lo que dice:

"Para cualquier $\epsilon \gt 0$ por pequeño que sea, hay ( y siempre hay ) una cantidad positiva correspondiente $\delta$ tal que el valor de la función $f(x)$ es menor que $\epsilon$ distante de $L$ siempre que el $x$ son inferiores a $\delta$ distante de $a$ ".

No importa lo cerca que quiera que esté su función de $L$ existe lo que llamamos una "vecindad" formada por todos los puntos cuya distancia a $a$ es $\delta$ tal que el valor de la función $f(x)$ es lo más parecido a lo que previamente querías $L$ para cada valor de $x$ en lo estipulado $\delta$ - de la vecindad.

Si esto es cierto, entonces decimos $L$ es el límite de la función $f$ como $x$ tiende a (se acerca a) $a$ .

Todo esto, obviamente, se da en términos mecánicos arriba. Usted lo ha desenredado hasta cierto punto CORRECTAMENTE. De ahí en adelante,

El $\forall x$ para mí es superfluo. Lo que tienes dentro de los paréntesis es $|x - a| \lt \delta \implies |f(x) - L| \lt \epsilon$ lo que significa esencialmente que si $|x - a| \lt \delta $ entonces $|f(x) - L| \lt \epsilon$ o $|f(x) - L| \lt \epsilon \;\;$ siempre que $|x - a| \lt \delta$ como he explicado anteriormente.

Espero haber ayudado.

Answer 3

La definición formal del límite es decir, dado un épsilon, implico el delta que implica, más adelante.

Answer 4

En términos muy simples, los valores delta-epsilon representan los radios de los intervalos ABIERTOS en los ejes x e y, lo que explica la desigualdad estricta. Así pues, tenemos (c-r, c+r) y su imagen (L-r, L+r) y puedes ver por qué se utilizan las letras griegas. Como un globo que se desinfla, el intervalo (c-r,c+r), cuyo punto medio o centro c está a r unidades de cualquiera de los extremos, se aproxima a su límite natural de diámetro cero a medida que el radio r se acerca a cero. Por supuesto, si cualquier diferencia a-b = 0, a=b es un único punto donde se produce naturalmente la distancia cero. Cuando el intervalo del dominio se "desinfla como un globo", el diámetro (y por tanto el radio) se aproxima a su límite natural de cero que se produce en el punto c. Por ello, la imagen (reflexión, AVATAR, sombra, etc.) no tiene más remedio que acercarse a L a medida que delta se aproxima a cero. Por definición, delta es mayor que cero, por lo que podemos evitar la vergüenza en el caso de una función como y = 1/x y c =0.

Para ver la conexión, sea x un punto en (c-r, c+r), entonces x está entre c-r y c+r. Restando c a ambos lados de la desigualdad, tenemos que x-c está entre -r y r, que es la definición del valor absoluto de x-c.