Identidades del Teorema del Binomio, evaluar la suma

Question

Esto es un problema de deberes, ¡por favor, no sueltes la respuesta! :)

Me han dado lo siguiente y me han pedido que evalúe la suma:

$$\sum_{k = 0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}10^k$$

Así que empecé tratando de ver esto como equivalente al teorema del binomio, en cuyo caso, podría intentar algo como esto: $10^k = y^{n-k}$ pero no sentí que eso me llevara a ninguna parte.

Así que empecé a evaluarlo realmente...

$$(-1)^0\binom{n}{0}10^0 + (-1)^1\binom{n}{1}10^1 + \ldots + (-1)^n\binom{n}{n}10^n$$

Así que, si no me equivoco, todos los demás términos se anulan y te quedas con:

$$(-1)^n\binom{n}{n}10^n = (-1)^n10^n$$

Pero, obviamente, esto no puede ser correcto (¿o sí?). El libro da una respuesta ligeramente diferente, así que me pregunto dónde me estoy equivocando. Se agradecería un poco de orientación.

Respuesta de los libros: $\displaystyle (-1)^n9^n$

Answer 1

Sugerencia: Si está evaluando $(a+b)^n$ ¿Qué dice el teorema del binomio que es igual y cómo lo relacionas con la suma que te dan?

Answer 2

Del teorema del binomio $$\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k}t^k=(1+t)^k$$ para $t=-10$ $$\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k}(-10)^k=(1-10)^n$$ $$\sum_{k = 0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}10^k=\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k}(-10)^k=(1-10)^n=(-9)^n$$

Answer 3

Intenta encajar tu suma en una de las siguientes: $$ \sum_{k=0}^n\binom{n}ka^kb^{n-k}=(a+b)^n,\quad\sum_{k=0}^n\binom{n}kb^{n-k}=(1+b)^n,\quad\sum_{k=0}^n\binom{n}ka^k=(a+1)^n. $$

Answer 4

$\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}ka^kb^{n-k}=(a+b)^n$

aquí $a=10$ .

si $n$ es incluso entonces $b=-1$ tenemos : $\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}10^k(-1)^{n-k}=\sum_{n=0}^{2m}\binom{2m}{k}(-1)^k 10^k=(10-1)^n=9^n $

si $n$ es impar : $\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}10^k(-1)^{n-k}=-\sum_{n=0}^{2m+1}\binom{2m+1}{k}(-1)^k 10^k=-(10-1)^n=-9^n $

por lo tanto, se obtiene la respuesta en el libro.