Cómo probar $1+\cos \left(\frac{2\pi}{7}\right)-4\cos^2 \left(\frac{2\pi}{7}\right)-8\cos^3 \left(\frac{2\pi}{7}\right) \neq 0$

Question

La tarea consiste en demostrar a mano la siguiente no igualdad:

$$1+\cos \left(\frac{2\pi}{7}\right)-4\cos^2 \left(\frac{2\pi}{7}\right)-8\cos^3 \left(\frac{2\pi}{7}\right) \neq 0$$

Wolframalpha muestra esto, pero no puedo probarlo.

http://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Bcos(2pi%2F7)-4cos%5E2(2pi%2F7)-8cos%5E3(2pi%2F7)%3D0

Answer 1

Demostramos un resultado estrechamente relacionado, que en particular muestra que hay una errata en la ecuación dada.

El número $e^{2\pi i/7}$ es una raíz de $x^7=1$ y, por tanto, de $x^6+x^5+\cdots+x+1=0$ o, en su defecto, de $$(x^3+x^{-3})+(x^2+x^{-2})+(x+x^{-1})+1=0.\tag{1}$$ (Dividimos por $x^3$ .) Sea $w=\frac{1}{2}(x+x^{-1})$ .

Tenga en cuenta que $x^3 +x^{-3}=8w^3-6w$ y $x^2+x^{-2}=4w^2-2$ y $x+x^{-1}=2w$ Así que nuestra ecuación puede reescribirse como $$8w^3+4w^2-4w-1=0.\tag{2}$$ Desde $e^{2\pi i/7}$ es una raíz de (1), se deduce que $\cos(2\pi/7)$ es una raíz de (2).

Answer 2

Aquí probaremos la ecuación de @AndreNicolas y @Blue de una manera más elemental.

$$ 1+4\cos \left(\frac{2\pi}{7}\right)-4\cos^2 \left(\frac{2\pi}{7}\right)-8\cos^3 \left(\frac{2\pi}{7}\right) = 0 $$

Tenga en cuenta que como $\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x$ y como $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ nuestra ecuación se simplifica a $$ \cos \left(\frac{\pi}{7}\right) -\cos \left(\frac{2\pi}{7}\right) + \cos \left(\frac{3\pi}{7}\right) = \frac{1}{2}$$

Dejemos que $x=\frac{\pi}{7}$ .

$$\cos x - \cos 2x + \cos 3x = \frac{1}{2}$$

$$\cos x + \cos 3x + \cos 5x = \frac{1}{2}$$ $$\cos x + \cos 3x + \cos 5x + ... = \frac{{\sin 2nx}}{{2\sin x}}$$ Desde $n = 3$ $$\cos x + \cos 3x + \cos 5x = \frac{{\sin 6x}}{{2\sin x}}$$ $$\frac{{\sin 6x}}{{2\sin x}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin 6x = \sin x$$ Lo cual es cierto ya que $\sin (\pi-x)=\sin x$ .

O, de forma similar, si $$K=\cos x - \cos 2x + \cos 3x $$ entonces $$K\sin\frac{\pi}{7}=\frac{\sin\frac{2\pi}{7}}{2}+\frac{\sin\frac{4\pi}{7}-\sin\frac{2\pi}{7}}{2}+\frac{\sin\frac{6\pi}{7}-\sin\frac{4\pi}{7}}{2}=\frac{\sin\frac{6\pi}{7}}{2}\implies K=\frac{1}{2}$$

Desde $ 2\sin A\cos B=\sin(A+B)+\sin(A-B)$

Answer 3

Poniendo $x=\cos(\frac{2\pi}{7})$ se tiene el polinomio $1+x-4x^2-8x^3\not= 0$ entonces $8x^3+4x^2-x-1\not=0$ de eso $$8x^3+4x^2-x-1=4x^2(2x+1)-x-1-x+x=4x^2(2x+1)-(2x+1)+x=(2x+1)(4x^2-1)+x=(2x+1)^2(2x-1)+x$$ Desde $(2x+1)^2>0$ y $x>\frac{1}{2}$ desde $\frac{2\pi}{7}<\frac{\pi}{3}$ tenemos que $(2x-1)>0$ y una suma de números positivos no es cero.

Answer 4

Considere $p(x)=1+x-4x^2-8x^3$ que sólo tienen una raíz real, $x_0\approx0,4$ . Ahora, calculando $x=\cos(2\pi/7)\approx0,6$ encontramos que $x\neq x_0$

Answer 5

Consideramos que $$f(x) = x - 4x^2 - 8x^3 $$

Obsérvese que para $x \ge \frac{1}{2}, \>\> f(x) < -1$ desde $f(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{2} $ y $f'(\frac{1}{2}) < 0$ y $f''(x) < 0$ para todos $x > -1$

Ahora sólo es importante mostrar que $\cos \frac{2 \pi}{7} \ge \frac{1}{2}$

Debería ser relativamente fácil mostrar $\cos \frac{2 \pi}{7} \ge \cos \frac{\pi}{3}$