Operador de restos de polinomios

Question

Aquí estoy considerando la $\Bbb{R}$ -espacio vectorial $E$ de todos los polinomios de grado $n\in\Bbb{Z}_+$ o menos y $f\colon E\to E$ el operador que mapea $P\in E$ al resto de la división euclidiana de $XP$ para $A(X)=X^{n+1}+\sum_{k=0}^na_kX^k$ . Necesito encontrar la matriz de $f$ en la base $\{1,X,...,X^n\}$ .

Ya he demostrado que $f$ es lineal, y si $P(X)=\sum_{k=0}^{n}b_kX^k$ entonces $$f(P)=\left(\sum_{k=1}^n(b_{k-1}-a_kb_n)X^k\right)-a_0b_n.$$ Pero ahora, no sé cómo proceder en el cálculo de $f(1)$ , $f(X)$ ...etc...

Answer 1

Dejemos que $B = \{1,X,...,X^n\}$ sea la base canónica de $E$ . Desde $f$ asocia un polinomio $P$ al resto de la división de $PX$ por $A$ tenemos que, para cada $j = 1,...,n-1$ , $$f(X^j) = X^{j+1}$$ ya que el grado de $X^{j+1}$ es estrictamente menor que el grado de $A$ . Sin embargo, $$f(X^n) = \sum_{k=0}^{n}-a_KX^k,$$ porque $X^{n+1} = 1 \cdot A - \sum_{k=0}^{n}a_kX^k .$ Con esta información, podemos calcular la matriz de $f$ en la base $B$ : $$\left [f \right ]_B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & -a_1 \\ 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & -a_2\\ 0 & 1 & 0 & \cdots & \vdots & -a_3\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 1 & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 & -a_n \end{bmatrix}.$$