El problema se refiere a los límites inferiores de las expresiones del tipo
$$|m 2 \pi i + n \log(\alpha) + \log(\xi)|,$$
donde $\alpha$ y $\xi$ son fijos.
Los límites inferiores para tales expresiones (que descartan la convergencia exponencial de la forma que usted busca) se derivan inmediatamente del Teorema de Baker cuando $\alpha$ y $\xi$ son algebraicas. El enunciado del teorema de Baker tiene el supuesto de que los logaritmos en cuestión son linealmente independientes, por lo que esto parece descartar exactamente el caso que te interesa, a saber: el caso en que $\xi^p = \alpha^q$ para algunos $p/q \in \mathbf{Q}$ es exactamente el caso en el que esta independencia lineal no se mantiene. Sin embargo, el problema se reduce entonces al caso (más fácil) del teorema de Baker en dos variables, ya que ahora se buscan límites inferiores en
$$ |m \cdot 2 \pi i + n \cdot \log(\alpha) + \log(\xi)| = \frac{1}{p} | m p \cdot 2 \pi i + n p \cdot \log(\alpha) + p \cdot \log(\xi)|$$ $$= \frac{1}{p} | m p \cdot 2 \pi i + (n p + q) \cdot \log(\alpha)|.$$
y ahora podemos aplicar Baker para dos variables, siempre que $n p + q \ne 0$ que puede ocurrir como máximo una vez (el caso en que $\alpha^n = \xi$ ).
Por último, si $\xi$ puede ser trascendental (y $\log(\alpha)/(2 \pi i)$ no es racional) entonces siempre existirá $\xi$ para el que el límite inferior es cero. Basta con elegir $\xi$ de la siguiente manera:
Paso 1 : Dejemos que $B > A > 1$ sea arbitraria. Para algún valor (arbitrario) $n = n_0$ de $n \ge 1$ , dejemos que $S_0$ denota la bola cerrada en $S^1$ de radio $1/B^{n_0}$ alrededor de $\alpha^{n_0}$ . Vemos que, para cualquier $\xi \in S_0$ el límite:
$$B^{n} |\alpha^n - \xi| < 2,$$
se mantiene para $n =n_0$ .
Paso 2 : Porque los poderes de $\alpha$ será denso en $S^1$ , al final encontraremos un valor $n = n_1$ de $n$ tal que $\alpha^{n_1}$ también se encuentra en $S_0$ . Ahora elegimos $S_1$ para ser la intersección de $S_0$ y el balón en $S^1$ de radisu $1/B^{n_1}$ alrededor de $\alpha^{n_1}$ . Se trata de un conjunto cerrado no vacío que está contenido en $S_0$ .
Paso 3,4,5,... : Repetimos este procedimiento, es decir, dado un pequeño conjunto $S_{k-1}$ encontramos $n = n_k$ tal que $\alpha^{n_k}$ está contenida en $S_{k-1}$ y, a continuación, deja que $S_k$ sea la intersección de $S_{k-1}$ con un balón en $S^1$ de radio $1/B^{n_k}$ alrededor de $\alpha^{n_k}$ .
Conclusión: : Ahora observamos que:
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La intersección de $S_0 \supset S_1 \supset S_2 \ldots$ no está vacío, y consiste en un único punto $\xi$ . Esto es básicamente la compacidad de $[0,1]$ .
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Por construcción, $\xi \in S_{n_k}$ y así $$B^n |\alpha^n - \xi| < 2$$ para todos $n = n_k$ y, en particular, hay infinitos $n$ para el que se cumple esta desigualdad.
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Desde $A < B$ se deduce trivialmente que
$$\liminf A^n |\alpha^n - \xi| = 0.$$
