Supongamos que $f'(x) \in C[0,1]$ , $f^{(n)}(0)=0(\forall n\geq 0)$ y $\exists C>0,\forall x \in [0,1]:|xf'(x)|\leq C|f(x)|.$

Question

Problema

Supongamos que $f'(x) \in C[0,1]$ , $f^{(n)}(0)=0(\forall n\geq 0)$ y $$\exists C>0,\forall x \in [0,1]:|xf'(x)|\leq C|f(x)|.$$ Prueba 1. $\lim\limits_{x \to 0+}\dfrac{f(x)}{x^n}=0(\forall n \geq 0);$ 2. $f(x)\equiv 0(\forall x \in [0,1]).$

Intento

La primera es demasiado fácil, si aplicamos repetidamente la regla de L'Hôpital o aplicamos la fórmula de Taylor. Por lo tanto, sólo tenemos que centrarnos en la segunda.

Desde $f'(x) \in C[0,1]$ y $f(0)=0$ ，Por el teorema de Lagrange， $$\forall x_0 \in (0,1]:|f(x_0)|=|f(0)+f'(\xi_1)(x_0-0)|=|x_0f'(\xi_1)|.$$ Por lo tanto, $$|x_0f'(x_0)|\leq C|f(x_0)|=C|x_0f'(\xi_1)|,$$ lo que implica $$|f'(x_0)|\leq C|f'(\xi_1)|,0<\xi_1<x_0\leq 1.$$ Repite el proceso anterior. Obtenemos $$|f'(x_0)|\leq C|f'(\xi_1)|\leq C^2|f'(\xi_2)|\leq \cdots \leq C^n|f'(\xi_n)|,$$ donde $$0<\xi_n<\cdots<\xi_2<\xi_1<x_0\leq 0.$$ Si $C<1$ , fíjese que $f'(\xi_n)$ está acotado, entonces $$|f'(x_0)|=\lim_{n \to \infty}|f'(x_0)|\leq \lim_{n \to \infty}C^n|f'(\xi_n)|=0,$$ lo que implica $$\forall x_0 \in (0,1]:f'(x_0)=0.$$ Pero $f(0)=0$ Por lo tanto $$\forall x \in [0,1]:f(x)\equiv 0.$$

¿Cómo seguir con esto? ¿Qué pasa si $C \geq 1$ ?

Answer 1

Una vez que tengas la parte 1, así es como se puede mostrar la parte 2:

Supongamos que $f(a)\ne 0$ para algunos $a\in(0,1)$ . Entonces $f(x)$ tiene signo constante no nulo en un intervalo $(u,v)\ni a$ y $h(x)=\ln |f(x)|$ está en $C^1(u,v)$ (es decir, con derivados $h'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}$ ). Tomando la menor cantidad posible de $u$ podemos suponer que $f(u)=0$ y por lo tanto $$\tag1\lim_{x\to u^+}h(x)=-\infty.$$

Si $u>0$ tenemos $|h'(x)|=\frac{|f'(x)|}{|f(x)|}\le \frac Cx<\frac Cu$ en $(u,v)$ para que $h'$ y luego también $h$ está acotado en $(u,v)$ , contradiciendo $(1)$ . Concluimos que $u=0$ .

Para $0<x<v$ , dejemos que $g(x)=C\ln x$ . Entonces para $0<x\le a$ tenemos $$ h'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\le \frac Cx=g'(x)$$ y concluye $h(x)-h(a)\ge g(x)-g(a)$ para $0<x\le a$ . Por lo tanto, $$|f(x)|=e^{h(x)}\ge e^{g(x)-g(a)+h(a)}=\underbrace{e^{h(a)-g(a)}}_{>0}\cdot x^C\qquad\text{for }0<x\le a $$ Si $n>C$ Esto implica que $$0=\lim_{x\to0^+}\frac{|f(x)|}{x^n}=e^{h(a)-g(a)}\cdot \lim_{x\to0^+}x^{C-n}= +\infty ,$$ contradicción. Por lo tanto, $a$ con $f(a)\ne 0$ no existe.