Respecto a la propiedad de las funciones elípticas Impares

Question

Mientras estudiaba por mi cuenta la teoría analítica de números de Tom M Apostol las funciones modulares y las series de Dirichlet en la teoría de números soy incapaz de pensar en un argumento que Apostol no prueba pero lo utiliza en el Teorema 1.14 del capítulo - funciones elípticas.

Este mismo problema se planteó también en los apuntes de clase sobre funciones elípticas que estaba estudiando.

Los semiperíodos de las funciones elípticas Impares son ceros o polos .

Sólo tengo dudas en la parte en la que $\omega$ /2 se demuestra que no es cero. Cómo se demuestra que tal medio período debe ser polo .

¿Puede alguien ayudar a probarlo?

Answer 1

Dejemos que $L \subseteq \mathbb{C}$ sea un entramado y que $f$ sea una función elíptica impar con respecto a $L$ . Recordemos que esto significa que $f(z+\omega) = f(z)$ para todos $z \in \mathbb{C}, \omega \in L$ tal que $f$ no tiene un poste en $z$ .

Dado cualquier $\omega \in L$ Hay precisamente dos posibilidades:

(i) $\omega/2$ es un polo de $f$ .

(ii) $\omega/2$ es no un poste de $f$ . En este caso, podemos concluir que $$f(\omega/2) = f(\omega/2 - \omega) = f(- \omega/2) = - f(\omega/2),$$ donde utilizamos en la primera ' $=$ ' que ( $\omega \in L$ y por lo tanto) $-\omega \in L$ , y en el tercero ' $=$ ' que $f$ es impar. Esto implica ahora que $2 f(\omega/2) = 0$ y por lo tanto que $f(\omega/2) = 0$ .