Buscando algunos espacios de topología simple tales que $nw(X)\le\omega$ y $|X|>2^\omega$

Question

Creo que hay algunos espacios de topología que satisfacen el peso de la red es menor que $\omega$ y su cardinalidad es superior a $2^\omega$ (no es igual a $2^\omega$ ), incluso mucho más grande.

• Red: una familia $N$ de subconjuntos de un espacio topológico $X$ es una red para $X$ si para cada punto $x \in X$ y cualquier nbhd $U$ de $x$ existe un $M \in N$ tal que $x \in M \subset U$ .

Aquí quiero buscar algunos espacios de topología simple que nos son familiares. Sin embargo, ¡un espacio topológico un poco complejo también es bienvenido!

Gracias por cualquier ayuda:)

Answer 1

Si $X$ es $T_0$ y $nw(X)=\omega$ (peso de la red) entonces $|X|\leq 2^\omega$ . Dejemos que $\mathcal N$ sea una red contable. Para cada $x\in X$ considere $N_x=\{N\in\mathcal N: x\in N\}$ . Desde $X$ es $T_0$ se deduce que $N_x\ne N_y$ para $x\ne y$ . Así, $|X|\leq |P(\mathcal N)|=2^\omega$ .