Supongamos una función $f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que es diferenciable en alguna región $(a, +\infty)$ , donde $a\in(0,+\infty)$ . Tiene sentido (para mí) que lo siguiente sea cierto: $$\lim_{x\to+\infty}f'(x)\in(0, +\infty) \Rightarrow \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$$ Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo lo demostraría, si es que es cierto.
Si $\lim_{x\to\infty}f'(x)=\ell >0$ existe $A\in\mathbf R$ tal que $f'(x)>\dfrac\ell2$ para todos $x>A$ .
Entonces, para todos esos $x$ s, aplicar el Teorema del valor medio entre $A$ y $x$ :
Existen algunas $ξ\in(A, x)$ , de tal manera que $$f'(ξ)=\frac{f(x)-f(A)}{x-A}>\frac{\ell}{2} \Rightarrow f(x)>\frac{\ell (x-A)}{2} + f(A)$$ También $$\lim_{x\to+\infty}\frac{\ell(x-A)}{2}=+\infty$$ Y, como $f(A)\in\mathbb{R}$ $$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$$
Me siento estúpido por preguntar esto, pero ¿a qué rango debo aplicar el MVT? ¿Podría aclararlo?
Gracias, lo he resuelto. Sin embargo, propuse una edición, para el temblor de la terminación
Un boceto:
Suponiendo que $\lim_{x\rightarrow\infty}f'(x)$ existe y es igual a $L>0$ entonces hay algo de $M$ tal que para todo $x>M$ , $|f'(x)-L|>\frac{L}{2}$ . Por lo tanto, $f'(x)>\frac{L}{2}$ para $x>M$ .
Observe que $$ f(x)=f(M)+\int_M^xf'(t)dt. $$ Para $x>M$ se deduce que $$ f(x)=f(M)+\int_M^xf'(t)dt\geq f(M)+\int_M^x\frac{L}{2}dt=f(M)+\frac{L}{2}(x-M). $$ Como la RHS diverge al infinito, también lo hace $f(x)$ .
Es cierto.
En primer lugar, llame a $L= \lim_{x \to \infty} f'(x)$ . Desde $L >0$ , $f'$ es finalmente positivo, por lo que $f$ acaba por aumentar.
Las funciones monótonas siempre tienen un límite, por lo que existe $a= \lim_{x \to \infty} f(x)$ ( $a \in (0, \infty]$ ).
Si $a \neq \infty$ se tendría una asíntota horizontal (es decir $L=0$ ), por lo que necesariamente $a= \infty$ .
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