¿Esta propuesta de análisis complejos que dependen de CA?

Question

Estaba leyendo III vol. de Princeton conferencias en el análisis. La proposición 1.4: "Si $\Omega_{1}\supset\Omega_{2}\supset\ldots\supset\Omega_{n}\supset\ldots $ es una secuencia no vacía compacto pone en $\Bbb C$ con la propiedad de que:

$$\operatorname{diam}(\Omega_{n})\to 0\text{ as } n\to\infty,$$

entonces existe un único punto de $w\in\Bbb C$ tal que $w \in \Omega_{n}$ todos los $n$."

Y en la prueba:"Elegir el punto de $z_{n}$ en cada una de las $\Omega_{n}$" Al parecer, esta prueba se basa en el Axioma de Elección. Pero me interesa si se puede probar sin referencia a AC?

Answer 1

Como Asaf, dice, la Elección no es necesario. Otra manera de ver.

Tenga en cuenta que si $\bigcap_n \Omega_n = \varnothing$, $\{ \mathbb C \setminus \Omega_n : n \in \mathbb N \}$ es una familia de subconjuntos abiertos de $\mathbb C$ que cubre $\Omega_1$. Sin embargo no finita de la subfamilia de esto abarca $\Omega_1$: si $n_1 < \ldots < n_k$ $$( \mathbb C \setminus \Omega_{n_1} ) \cup \cdots \cup ( \mathbb C \setminus \Omega_{n_k} ) = \mathbb C \setminus ( \Omega_{n_1} \cap \cdots \cap \Omega_{n_k} ) = \mathbb C \setminus \Omega_{n_k},$$ and $\Omega_{n_k}$ is a nonempty subset of $\Omega_1$, contradicting the compactness of $\Omega_1$. Esto es puramente topológico argumento.

Que $\bigcap_n \Omega_n$ contiene un solo punto puede ser visto por suponer que $z \neq z^\prime$ están en $\bigcap_n \Omega_n$, y teniendo un $n$ tal que $\operatorname{diam} \Omega_n < | z - z^\prime |$.

Answer 2

Afortunadamente, el axioma de elección pueden ser eludidos por aquí.

$\Bbb C$ es un espacio polaco, es decir, que es separable y completamente metrizable. Por otra parte estamos hablando compacto sets y no secuencialmente compacto conjuntos. La equivalencia entre los dos noción requiere el axioma de elección, pero no se utiliza aquí.

Ahora. Compacto conjuntos son cerrados en $\Bbb C$. Y como la suerte lo tendría, podemos elegir compacto establece de manera uniforme en $\Bbb C$, sin usar el axioma de elección. Para ver por qué, fijar una contables subconjunto denso $\{d_n\mid n\in\Bbb N\}$, y para cada uno de no-vacío compacto $E$ conjunto de definir una secuencia de inducción, $x_n=d_k$ si $k$ es el mínimo para que $d_k\in E$, o si por el contrario, es el que menos índice tal que $\frac12d(x_{n-1},E)>d(d_k,E)$ ( $n=0$ $d_0$).

Esta secuencia es de Cauchy, por lo tanto converge, y converge a un punto cuya distancia de $E$$0$. Por compacidad significa que el límite está en $E$.

En esta definición no usamos el axioma de elección debido a $\{d_k\mid k\in\Bbb N\}$ es una contables conjunto.

Por lo tanto, la elección de cada una de las $\Omega_n$ es posible incluso sin asumir el axioma de elección se mantiene.

Answer 3

Cada subconjunto compacto en $\mathbb {R}$ tiene un elemento más pequeño, así que no hay problemas para la elección de puntos en subconjuntos compactos de $\mathbb {R}.$ no Podemos hacer algo similar en $\mathbb {C}?$ Por ejemplo, si $K$ es un subconjunto compacto de $\mathbb {C},$ entonces podemos permitir $a=\inf \{x: (x,y)\in K\}.$, a Continuación, establezca $b = \inf \{y: (a,y) \in K\}.$ $(a,b)\in K.$ podemos pensar de $(a,b)$ como el "southmost extremo más oriental de punto" de $K.$ no que manejan la "elección problema"?