Semidefinido positivo frente a definido positivo

Question

Estoy confundido sobre la diferencia entre semidefinido positivo y definido positivo.

Entiendo que semidefinido positivo significa simétrico y $x'Ax \ge 0$ mientras que positiva definida significa simétrica y $x'Ax \gt 0$ ?

Answer 1

Sí. En general, una matriz $A$ se llama...

• positivo definido si para cualquier vector $x \neq 0$ , $x' A x > 0$
• semidefinido positivo si $x' A x \geq 0$ .
  • definido no negativo si es positivo definido o semidefinido positivo
• negativo definido si $x' A x < 0$ .
• semidefinido negativo si $x' A x \leq 0$ .
  • no positivo definido si es negativo definido o semidefinido negativo

• indefinido si no es nada de eso.

  Literatura: por ejemplo, Harville (1997) Álgebra matricial desde la perspectiva de un estadístico Sección 14.2

Answer 2

Una gran fuente de resultados sobre matrices (semi)definidas positivas es el capítulo 7 de Horn, Johnson (2013) Análisis de la matriz , 2ª edición. Un resultado que me pareció especialmente interesante:

Corolario 7.1.7. Una matriz semidefinida positiva es definida positiva si y sólo si es no singular.

Answer 3

Se dice que una matriz simétrica A es definida positiva si para todo X no nulo $X^tAX>0$ y se dice que es semidefinida positiva si existe alguna X no nula tal que $X^tAX>=0$ .