Demostrar

Question

$a,b,c >0$ y$a+b+c=3$, prueban PS

Intento sustituir$$ a^{ab}b+b^{bc}c+c^{ca}a \geqslant \sqrt[6]{5}$para reducir el número de variables, pero no puedo continuar para resolver el problema. Hice una hoja de cálculo de Excel y probé 100 pares de$c=3-a-b$, parece que la desigualdad es correcta. Ni siquiera puedo encontrar dónde ocurre la igualdad. Por favor ayuda. Este es un problema muy poco convencional.

Answer 1

No es una respuesta sólo una foto. Dibujo función $$f(x, y) = x^{xy}y + y^{yz}z + z^{zx}x,\quad z = 3 -x-y,\quad x,y\in[0,1.4).$$ Tenga en cuenta que $$\sqrt[6]{5} = 1.30...$$ Parece que su desigualdad es cierta. La igualdad es cuando $x=0$.

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Answer 2

El sistema de ecuaciones resultante de la situación del problema no se puede resolver elementarily, sólo numéricamente.

Uso de WolframAlpha

<span class="math-container">$\text{minimize (yx^(xy) + (3-x-y)y^(y(3-x-y)) + x(3-x-y)^(x(3-x-y))) , x>0 , y>0 , x+y</span>

obtenemos

<span class="math-container">$\displaystyle \min(yx^{xy}+(3-x-y)y^{y(3-x-y)}+x(3-x-y)^{x(3-x-y)}\,|$</span>

<span class="math-container">$\displaystyle\hspace{1cm} \,x>0\land y>0\land x+y a <span class="math-container">$\,(x,y)\approx (0.261073,2.73893)\,$</span></span>

y es <span class="math-container">$\,1.309… > 1.308 > \sqrt[6]{5}\,$</span> .