Demostrar

Question

<blockquote> <p>$x,y,z \geqslant 0$, $x+y^2+z^3=1$, prueba $$x^2y+y^2z+z^2x < \frac12$$ </p> </blockquote> <p>Esta desigualdad ha sido verificada por Mathematica. $\frac12$ no es el mejor enlazado. Trato de hacer AM-GM para este, pero aún no el éxito. La condición $x+y^2+z^3$ es muy extraña.</p>

Answer 1

Esta respuesta es incompleta.

Deje que $A=x+y^2$, $B=y^2+z^3$ y $C=z^3+x$.

Reclamación: $x^2y \leq \dfrac{A}{2}x^{3/2}$, $y^2z \leq \dfrac{B^{2/3}}{4^{2/3}}y^{4/3}$, $z^2x \leq \dfrac{C^{4/3}}{4^{2/3}}x^{1/3}$.

Suponiendo la reclamación, observamos que $A+B+C=2$ y tenemos que demostrar que la suma dada es inferior a $\dfrac{A+B+C}{4}$.