Mi comprensión de la relatividad general

Question

Mis antecedentes:

En el instituto, completé el curso de Física C de Mecánica y Electricidad y Magnetismo. En mi primer año de licenciatura, realicé un curso de Mecánica Newtoniana y otro de Relatividad Especial y Electromagnetismo que seguían aproximadamente las secciones de esos temas en las Conferencias Feynman de Física.

La pregunta:

En mi tiempo libre, estoy empezando a aprender el análisis tensorial y la relatividad general. Quería explicar cuál es mi comprensión actual de la RG y me preguntaba si lo que entiendo de ella hasta ahora podría verificarse y, si no es correcto, podrían explicarse los problemas que tiene.

Mi entendimiento actual:

1. Los objetos siguen geodésicas en el espaciotiempo que extreman la distancia total del espaciotiempo (tiempo propio) a lo largo de esa geodésica. Estas geodésicas se pueden encontrar mediante la ecuación geodésica si se conoce el tensor métrico.
2. El tensor energía-momento mide cuánta densidad/flujo de energía, densidad/flujo de momento hay en una determinada región del espaciotiempo.
3. El tensor de energía-momento determina cuál es el tensor métrico a través de la ecuación de campo de Einstein.
4. Si se conoce el tensor de energía-momento, se puede utilizar la ecuación de campo de Einstein para resolver el tensor métrico (es decir, la métrica de Schwarzschild es la solución para el tensor métrico si el tensor de energía-momento es el de una estrella esférica o un agujero negro). Entonces, la ecuación geodésica puede utilizarse para calcular la trayectoria de cualquier objeto en el espaciotiempo.

En resumen, la energía/masa existente en un punto del espaciotiempo hace que el espaciotiempo que lo rodea se curve y esta curvatura influye en el movimiento de los objetos que viajan por el "camino más corto" a través del espaciotiempo.

Preguntas adicionales:

1. ¿Varía el tensor de energía-momento con las coordenadas del espaciotiempo al igual que el tensor métrico y está determinado por la distribución de energía y momento en todo el espaciotiempo (es decir, si existe un cuerpo masivo en algún lugar)?
2. Si es así, ¿el valor del tensor de energía-momento en un punto del espaciotiempo influye en la curvatura del espaciotiempo sólo en ese punto específico o influye también en la curvatura de los puntos circundantes del espaciotiempo (es decir, el Sol hace que el espaciotiempo se curve en una gran región a su alrededor o sólo en los puntos del espaciotiempo donde existe el Sol)?

Answer 1

La mayor parte de lo que has dicho es correcto.

Si se conoce el tensor energía-momento, se pueden utilizar las ecuaciones de campo de Einstein para resolver el tensor métrico

Esto está mal. Por ejemplo, supongamos que el tensor energía-momento es cero. Todavía hay muchas métricas posibles, incluyendo el espacio de Minkowski, versiones del espacio de Minkowski con topologías no estándar, espacios-tiempo que contienen ondas gravitacionales y espacios-tiempo con agujeros negros.

la métrica de Schwarzschild es la solución para el tensor métrico si el tensor de energía-momento es el de una estrella esférica o un agujero negro

El tensor de energía-momento de la métrica de Schwarzschild es cero en todas partes. La masa del agujero negro es difícil de precisar. Se puede pensar que está en la singularidad, pero la singularidad es una superficie espacial en el futuro y no forma parte de la variedad del espaciotiempo. O se puede pensar que la masa está en el espaciotiempo pero no está localizada, pero entonces no se mide por el tensor energía-momento.

¿Varía el tensor de energía-momento con las coordenadas del espaciotiempo al igual que el tensor métrico y está determinado por la distribución de energía y momento en todo el espaciotiempo (es decir, si existe un cuerpo masivo en algún lugar)?

El tensor de energía-momento sí varía de un punto a otro. Su valor en un punto sólo describe la densidad de energía y de momento en ese punto, no en el lejano.

Si es así, ¿el valor del tensor de energía-momento en un punto del espaciotiempo influye en la curvatura del espaciotiempo sólo en ese punto específico o influye también en la curvatura de los puntos circundantes del espaciotiempo (es decir, el Sol hace que el espaciotiempo se curve en una gran región a su alrededor o sólo en los puntos del espaciotiempo donde existe el Sol)?

Esto depende de lo que se entienda por "influencia" y "curvatura". Existe una curvatura que no es medida por el tensor de Einstein, como la curvatura de una onda gravitacional. La influencia directa de la tensión-energía es sólo en la parte de la curvatura local medida por el tensor de Einstein.

En realidad, esto es bastante similar al electromagnetismo. La divergencia del campo eléctrico está determinada localmente por la densidad de carga, pero los campos eléctricos se propagan.

Es estupendo que se formulen preguntas de este tipo. Son todas preguntas buenas y naturales para hacerse como principiante en RG. Buena suerte.

Answer 2

Si se conoce el tensor de energía-momento, las ecuaciones de campo de Einstein pueden utilizarse para resolver el tensor métrico (es decir, el tensor de Schwarzschild es la solución para el tensor métrico si el tensor de energía-momento es el de una estrella esférica o un agujero negro).

El tensor métrico depende también de las simetrías. Por ejemplo: si el tensor de energía-momento es cero en una región fuera de una masa esférica, y esta masa no está girando, podemos decir que hay una simetría esférica, y el campo es sólo una función de $R$ . Después de calcular todos los componentes del tensor de Ricci, llegamos a las ecuaciones diferenciales que conducen a la métrica de Schwartzschild.

En este enfoque no utilizamos ninguna información sobre los valores de masa o energía o las densidades. Es forzar la ecuación para que coincida con la gravedad newtoniana para campos débiles lo que hace que el producto $GM$ a la métrica.

Pero si esta masa gira, la simetría esférica ya no es válida y la métrica es diferente.

Answer 3

En primer lugar, se necesitan las condiciones de contorno, así como el tensor de energía-momento, para determinar una solución a la ecuación de Einstein para la gravedad.

En respuesta a la P1, los tensores, incluyendo el tensor de energía-momento y el tensor métrico, son coordenadas independientes . En la práctica, el cálculo requiere una elección de coordenadas. Lo que varía es la representación del tensor en unas coordenadas determinadas, no el propio tensor.

En respuesta a la P2, la ecuación de Einstein

$$ G^{ab} = 8\pi G T^{ab} + \Lambda g^{ab}$$

afirma que la curvatura de Einstein $G^{ab}$ se especifica en un punto por el tensor de momento de energía (y la constante cosmológica). No especifica el tensor de curvatura de Riemann $R^a_{bcd}$ . El tensor de curvatura de Riemann puede encontrarse a partir de la solución de la ecuación de Einstein dada $T^{ab}$ junto con las condiciones de contorno. En efecto, el Sol hace que el espacio-tiempo se curve en una gran región a su alrededor.