¿Hasta qué punto es sensible el lema de Yoneda a las sutilezas de la teoría de conjuntos?

Question

En su forma habitual, el lema de Yoneda no puede aplicarse a categorías que no sean localmente pequeñas, porque, para que el functor de puntos tenga codominio $\mathsf{Set}$ los hom-sets deben ser realmente conjuntos.

Sin embargo, parece que se podría utilizar la misma definición para crear un functor de una categoría localmente grande a alguna categoría de clases propias, y obtener prácticamente el mismo resultado.

¿Hay algún problema que pueda surgir en este enfoque? La mayoría de las fuentes sobre la teoría de las categorías pasan por alto las sutilezas de la teoría de conjuntos, sugiriendo que, en última instancia, no son importantes, pero mi intuición no es muy buena en cuestiones como ésta.

Answer 1

Los fundamentos de la teoría de conjuntos realmente no importan en cuanto al lema de Yoneda, ya que su demostración es totalmente formal. Si $U$ es cualquier Universo Grothendick entonces se cumple el lema de Yoneda para $U$ -categorías: Si $F : C \to U\mathsf{Set}$ es un $U$ -funcionario y $X \in C$ entonces $\hom(\hom(X,-),F) \cong F(X)$ .