Demostrar que la suma en ambos lados preserva la igualdad

Question

Estoy haciendo algunas pruebas de muy bajo nivel en álgebra abstracta y he derivado el hecho de que (en un anillo particular) $0 = -1$ donde $0$ es la identidad aditiva del anillo en cuestión y $-1$ es la inversa de su identidad multiplicativa.

Quiero demostrar que esto implica $0 = 1$ (que puedo utilizar para demostrar que mi anillo es el anillo trivial) pero me cuesta hacerlo. Intuitivamente podemos añadir $1$ a ambos lados y realizar la siguiente derivación

\begin {align*} 0 = -1 & \implies 0 + 1 = (-1) + 1 \tag {???} \\ & \implies 1 = (-1) + 1 \tag {Identidad} \\ & \implies 1 = 0 \tag {Inverso} \\ \end {align*}

Pero no estoy muy seguro de cómo justificar la adición de $1$ a ambos lados. Creo que la definición de igualdad en un anillo ha sido heredada de la teoría de conjuntos, sin embargo no puedo averiguar cómo se podría demostrar esto utilizando los axiomas de la teoría de conjuntos.

¿Cómo puedo demostrar que $a = b \implies a+x = b+x$ ? ¿Es algo que se ha demostrado o se deriva de alguna definición en alguna parte?

Answer 1

Es que la suma (y todas las operaciones binarias, en realidad) son funciones.

Si $a=b$ , entonces el par ordenado $(a,x)=(b,x)\in R\times R$ .

Por la definición de una función, $a+x=+(a, x)=+(b, x)=b+x$

Answer 2

La mayoría de las teorías de conjuntos tradicionales implican los conceptos básicos de función y relación: un conjunto es en la mayoría de las axiomatizaciones simplemente una relación. En particular, se suelen considerar fundamentales dos relaciones: "es un elemento de" y "es igual a".

Los axiomas de anillos dan por sentada una cierta axiomatización de la teoría de conjuntos con la que definen el conjunto de anillos y añaden a eso 2 funciones binarias totales (o 2 relaciones terciarias +(x,y,z) y *(x,y,z) cuyo significado es autoexplicativo, supongo). Pero esto no es realmente relevante si entiendo lo que estás haciendo.

Siendo las 2 acciones del anillo sólo funciones estándar (es decir, no multivaluadas) entonces:

(a + x = b && a + x = c) implica (b = c)

(a + x = b && b = c) implica (a + x = c)

(a + b = x && a + c = x) implica (b = c)

Etc... incluyendo por supuesto su teorema de "ambos lados" dadas las sustituciones adecuadas.