Demostrar que $\lim_{x \to a} f'(x) = A \Rightarrow f'(a)$ existe y es igual a $A$

Question

Dejemos que $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ sea continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ . Demostrar que $\lim_{x \to a} f'(x) = A > \Rightarrow f'(a)$ existe y es igual a $A$

No se me ocurre ninguna forma de resolver este problema

He intentado utilizar el teorema del valor medio en $[a,x ]$ para $a < x < b$

$\exists \; c \in ]a,x[ \; \Rightarrow f'(c) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \Rightarrow \lim_{x \to a} f'(c) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $

Ahora el RHS representa $f'(a)$ pero cómo se iguala $A$ ? porque $f'(c) $ es una constante

Answer 1

Estás muy cerca. Una ligera reescritura le dará el resultado.

Así que toma $x_n = a + \epsilon_n$ , donde $\epsilon_n > 0$ son tan pequeños que $a+\epsilon_n < b$ y $\epsilon_n \to 0$ como $n \to \infty$ .

Aplicar el teorema del valor medio a $[a,x]$ para concluir que hay $c_n \in (a,x_n)$ tal que $f'(c_n) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ . Ahora, toma los límites de ambos lados: el lado derecho es la derivada de $a$ y el lado derecho es $\lim_{n \to \infty} f'(c_n)$ que existe y es igual a $A$ . Por tanto, el resultado es el siguiente.