Si $D_1$ y $D_2$ son derivaciones de $A$ , demuestran que $D_1 ◦ D_2$ no es necesariamente una derivación de $A$

Question

Si $D_1$ y $D_2$ son derivaciones de $A$ , demuestran que $D_1 ◦ D_2$ no es necesariamente una derivación de $A$ .

Lo que he resuelto:

La regla de Leibniz insiste $(D_1 ◦ D_2)(a) · b + a · (D_1 ◦ D_2)(b) = (D_1 ◦ D_2)(ab)$

$= D_1D_2(ab)$

\= $D_1(D_2a)b + a(D_2b)$

\= $D_1(D_2a)b+ D_1aD_2b$

\= $(D_1 ◦ D_2)(a) · b + D_2aD_1b + D_1aD_1aD_2b + a · (D_1 ◦ D_2)(b)$ , lo cual es cierto si y sólo si $D_1aD_2b = −D_2aD_1b$ lo que evidentemente no es necesariamente el caso.

¿Podría alguien darme un contraejemplo concreto de esto?

Answer 1

Una pista: Dejemos que $A$ sea el anillo polinómico $k\left[X\right]$ sobre un campo $k$ . Sea $D$ sea el mapa $A \to A$ que envía cada polinomio $p$ a su derivado.

(1) Demuestre que $D$ es una derivación de $A$ .

(2) ¿Qué debe $k$ satisfacer para que $D \circ D$ para ser una derivación de $A$ ? (La mayoría de las veces no lo será, pero a veces sí).