Prueba teórica del principio de exclusión de Pauli

Question

"Todavía no se puede dar ninguna prueba teórica del Principio de Exclusión de Pauli y por el momento debe considerarse como algo empírico que se añade y regula el modelo del átomo vectorial".

Lo he encontrado en Atomic & Nuclear Physics de N. Subrahmanyam & Brij Lal.

Mi pregunta es: "¿Cuál fue la motivación del principio de exclusión de Pauli? ¿Es sólo un intento intuitivo ad hoc de Pauli para explicar el efecto Zeeman o se derivó sobre la base de las matemáticas? Si es matemático, ¿cómo? "

Answer 1

Inicialmente el principio de exclusión de Pauli impuesto para los fermiones era una concepción puramente fenomenológica introducida para explicar los hechos experimentales. La razón es que no existe una descripción teórica bien definida de la relación entre el espín y la estadística en la mecánica cuántica no relativista (dentro de la cual Pauli ha formulado inicialmente su principio). Pero surge en la teoría cuántica relativista. Intentaré explicar estas cosas a continuación.

Cualitativamente sobre las estadísticas

En el espacio tridimensional sólo hay dos posibilidades para el comportamiento de la función de onda $\psi(\mathbf x_{1},\mathbf x_{2})$ de las dos partículas idénticas bajo el cambio adiabático de sus posiciones debido a que las partículas se vuelven a intercambiar. Bajo esta acción, la función de onda de dos partículas sólo puede cambiar como $$ \tag 1 \psi(\mathbf x_{1},\mathbf x_{2}) \to \pm \psi(\mathbf x_{2},\mathbf x_{1}) $$ Nótese que esta propiedad se deduce de la topología del espacio de fase relativo del estado de dos partículas en el espacio tridimensional, y no tiene nada que ver con ningún otro argumento (en particular con el experimento). Se trata de un argumento puramente teórico.

Cualitativamente sobre el giro

El espín es la cantidad cuya importancia surge fundamentalmente por la simetría de Poincare de nuestro mundo. Aparte de su sentido físico, es el número cuántico con el que caracterizamos matemáticamente cada partícula (al menos masiva) debido a sus propiedades de transformación bajo el grupo de Poincare. A través de las representaciones del grupo de Poincare, la descripción del espín está relacionada con la topología del espacio-tiempo.

La relación entre el giro y la estadística

Entonces, ¿dónde se encuentran estas dos concepciones, el giro y la estadística? ¿Cómo afecta el espín a la estadística (y viceversa) y, en particular, cómo se deduce de ello el principio de exclusión de Pauli? Desde el primer punto de vista, cualquier relación entre ellos no es natural, al menos desde el punto de vista de la topología. Sin embargo, en realidad la relación existe.

La invariancia de Poincare de la teoría cuántica requiere que la densidad hamiltoniana $\hat{H}(x)$ de la teoría debe conmutar consigo misma para los intervalos de tipo espacial: $$ \tag 2 [\hat{H}(x),\hat{H}(y)] = 0 \quad \text{for} \ (x-y)^2<0 $$ El hamiltoniano se compone de los operadores de campo $\hat{\psi}_{a}(x), \hat{\psi}_{b}(y)$ cuantificado en términos de operadores de creación-destrucción $\hat{a}(\mathbf p, s),\hat{a}^{\dagger}(\mathbf p, s)$ de las partículas con espín arbitrario $s$ . A partir de la relación $(1)$ sabemos que los operadores de creación-destrucción deben obedecer $$ \tag 3 [\hat{a}(\mathbf p, s),\hat{a}(\mathbf k, s)]_{\pm} =0,\quad [\hat{a}(\mathbf p, s),\hat{a}^{\dagger}(\mathbf k, s)]_{\pm} \sim \delta(\mathbf p -\mathbf k) $$ Nótese que esta afirmación es puramente teórica y no tiene nada que ver con la fenomenología. Al tener en cuenta tanto $(2),(3)$ obtenemos que $$ \tag 4 [\hat{\psi}_{a}(x),\hat{\psi}_{b}(y)]_{\pm} = 0, \quad (x-y)^{2} < 0 $$ La estructura de los operadores de campo está completamente fijada por sus propiedades de transformación y, en particular, por el valor del espín. La expresión $(4)$ es el lugar donde el giro y la estadística se encuentran. Al tratarlo analíticamente, se obtiene el principio de exclusión de Pauli.

¿Por qué no existe la relación entre el espín y la estadística en la mecánica cuántica no relativista?

En el espíritu de las afirmaciones escritas anteriormente no es difícil entender por qué en la física no relativista la relación espín-estática no tiene base teórica y puede ser sólo fenomenológica. La razón es que en la física no relativista no hay ningún requisito similar a $(2)$ . Realmente, la transformación ortocrónica del grupo de Galilei, que ("más" las traslaciones) representa la simetría espacio-temporal en la mecánica cuántica no relativista, deja inalterado el ordenamiento cronológico en el operador S. Al contrario que el grupo Galilei, el grupo Poincare cambia el orden cronológico para los intervalos espacio-temporales. Esta última es la razón subyacente por la que requerimos $(2)$ ...

Answer 2

El principio de exclusión de Pauli puede derivarse de la teoría cuántica relativista de campos. Aunque el principio de exclusión de Pauli sigue siendo importante en la aproximación no relativista, la motivo ya que está profundamente arraigada en la QFT relativista.

El teorema se denomina teorema de la espín-estadística . Las entradas al teorema incluyen

• Simetría de Lorentz,

• Algo llamado estado del espectro lo que significa que la energía total debe tener un límite inferior finito.

El resultado es más fácil de derivar para el caso de partículas de espín-1/2 libres (no interactuantes). Esto se explica con más detalle en la respuesta de Name YYY. He aquí una versión sólo en palabras que incluye un poco más de contexto. En QFT, las partículas son fenómenos que la teoría predice, en lugar de los ingredientes utilizados para construir la teoría. La teoría se construye en términos cuánticos. campos que se representan como operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert. Por ejemplo, todos los electrones (y antielectrones) son manifestaciones del operador campo de electrones al igual que todos los fotones son manifestaciones del campo electromagnético. Para un campo libre de espín-1/2, la simetría de Lorentz exige que la ecuación de movimiento sea lineal en las derivadas espaciales y temporales, en lugar de ser cuadrática como lo sería para un campo escalar o vectorial. Por ello, los operadores de campo deben anticommute entre sí a una separación similar a la del espacio (en lugar de desplazamientos entre sí como lo harían para un campo escalar o vectorial) para que el operador de energía tenga un espectro de energía con un límite inferior finito. Esta anticonmutatividad es el principio de exclusión de Pauli. Esta derivación, en el caso especial de un campo libre de espín 1/2, se incluye en muchos libros de texto de QFT, como la sección 3.5 del libro de Peskin y Schroeder Introducción a la teoría cuántica de campos .

Para general derivaciones:

• La referencia clásica es el libro de Streater y Wightman, PCT, giros y estadísticas, y todo eso (1980). Demuestran el teorema a partir de un sistema de axiomas para la QFT relativista denominado Axiomas de Wightman . También demuestran otro teorema general que suele llamarse el Teorema CPT (lo llamaron "PCT" en lugar de "CPT" - es lo mismo), que a menudo se presenta junto con el teorema de la espín-estadística porque comparten las mismas entradas.

• También puede derivarse de un sistema diferente de axiomas en el contexto de QFT algebraica . El teorema relevante en este caso se llama el Teorema de reconstrucción de Doplicher-Roberts que en realidad demuestra mucho más: ayuda a explicar por qué los operatores de campo son útiles en primer lugar, además de explicar el principio de exclusión de Pauli. Este teorema se revisa en la página 92 de "Teoría algebraica cuántica de campos", https://arxiv.org/abs/math-ph/0602036 .

Answer 3

Según mis investigaciones, la respuesta breve a tu pregunta es que Pauli inventó el principio para explicar mejor lo que ocurría dentro de un átomo, pero él mismo no pudo explicar de dónde procedía. El principio de exclusión de Pauli no tiene ninguna derivación. Mientras Wolfgang Pauli intentaba responder a la gran pregunta cuántica de la época, por qué no pasan todos los electrones al estado de menor energía, se le ocurrió el principio de exclusión de Pauli. En aquel momento, muchos físicos estaban confusos porque no sabían de dónde había salido ni por qué existía. De hecho, al propio Pauli le preocupaba no poder explicar su propio principio desde la lógica y no poder deducirlo de ninguna ecuación cuántica. Este es un tema común dentro de la física cuántica, donde hay muchas leyes y ecuaciones que no tienen una explicación adecuada sobre por qué suceden, y los científicos todavía están tratando de encontrar más respuestas.

Mi fuente: https://www.aps.org/publications/apsnews/200701/history.cfm

Answer 4

Los fermiones se describen mediante funciones de onda antisimétricas. $$\Psi(x_{1},x_{2})=-\Psi(x_{2},x_{1})\tag{1}$$ Lo definimos: $$\Psi(x_{1},x_{2})=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\Psi_{1}(x_{1})\Psi_{2}(x_{2})-\Psi_{1}(x_{2})\Psi_{2}(x_{1})\right]\tag{2}$$ Utilizando esta definición podemos ver que: $$\Psi(x_{2},x_{1})=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\Psi_{1}(x_{2})\Psi_{2}(x_{1})-\Psi_{1}(x_{1})\Psi_{2}(x_{2})\right]\tag{3}$$ Por tanto, la ecuación (1) se cumple. Podemos escribir la ecuación (2) como un determinante: $$\Psi(x_{1},x_{2})=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{vmatrix} \Psi_{1}(x_{1}) & \Psi_{2}(x_{1})\\ \Psi_{1}(x_{2}) & \Psi_{2}(x_{2}) \end{vmatrix}$$ Podemos escribir este determinante para cualquier número de fermiones: $$\Psi(x_{1},x_{2},\dots,x_{N})=\frac{1}{\sqrt{N!}}\begin{vmatrix} \Psi_{1}(x_{1}) & \Psi_{2}(x_{1}) & \cdots & \Psi_{N}(x_{1})\\ \Psi_{1}(x_{2}) & \Psi_{2}(x_{2}) & \cdots & \Psi_{N}(x_{2})\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \Psi_{1}(x_{N}) & \Psi_{2}(x_{N}) & \cdots & \Psi_{N}(x_{N})\\ \end{vmatrix}$$ Esto se conoce como determinante de Slater. Puedes ver que si dos o más fermiones comparten el mismo estado cuántico, el determinante es cero.

Answer 5

En el centro de todo esto está el llamado "Teorema de la Estadística del Espín" que dice que las partículas con espín entero, también conocidas como bosones, deben seguir la Estadística de Bose y las partículas con espín medio entero, también conocidas como fermiones, siguen la Estadística de Fermi, que incluye el principio de exclusión de Pauli. Ese teorema se desprende de afirmaciones muy generales como la invariancia de Lorenz, la localidad, la unitariedad, la norma positiva, la energía finita, ... Para hacer todo esto un poco más matemático, consideremos la llamada "construcción del estado de Fock", que forma parte de los cursos estándar de QFT. Se comienza con un único estado de vacío, $|0>$ y actúa sobre ella con operadores de creación $a'_p$ (debería ser el adjunto de a, pero no sé cómo escribirlo aquí). Para los bosones, los operadores $a'_p$ conmutan, mientras que para los fermiones, suelen llamarse $c'_p$ y no se desplazan, por lo que $c'_kc'_p=-c'_pc'_k$ . Esto es porque, de lo contrario, habría estados de energía negativos, etc. y la teoría no funcionaría. Lo que hacen es crear una partícula con momento p o k, pero también pueden contener otra información sobre el estado. Así, un estado de un bosón con momento p es $$a'_p|0>$$ y un estado de dos bosones donde ambos bosones son de momento p es proporcional a $$a'_pa'_p|0>$$ Ahora, ¿qué ocurre si queremos crear dos fermiones en el mismo estado? Eso sería $$c'_kc'_k|0>=-c'_kc'_k|0>=0$$ porque los operadores de creación anticonmutación. Esta es una prueba sencilla (aunque admite que no es muy general) del principio de exclusión de Pauli.