Tenemos 4 letras I, D, L, E y 4 números 1, 9, 8, 7 para crear una contraseña de 8 caracteres. ¿Cuál es la probabilidad de que en una contraseña creada al azar, aparezca "IDLE"? (El orden importa. ej: idle es diferente de ldie)
Respuestas
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Zaeem Hussain
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28
El número de todas las posibles contraseñas con estos 8 caracteres es 8!.
El número de contraseñas donde I,D,L,E aparecen consecutivamente es igual al número de posibles posiciones de IDLE dentro de la contraseña (que es 5) multiplicado por el número de posibles permutaciones de los otros 4 caracteres restantes (que es 4!).
Por lo tanto, la probabilidad será $\frac{5(4!)}{8!}$.
Yanior Weg
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21
Su pregunta puede ser interpretada de dos maneras diferentes. La forma de elegir la contraseña como una permutación aleatoria de "IDLE1987" fue tratada en la respuesta de Zaeem Hussein. Aquí trato con la otra interpretación, donde las letras de la contraseña son elegidas de forma independiente y uniforme entre $8$ posibles.
Supongamos que generamos una contraseña y aparece en ella una subpalabra "IDLE". Si la contraseña tiene una longitud de 8, entonces la letra 'I' de "IDLE" puede estar en la primera posición, o en la segunda, o en la tercera, o en la cuarta, o en la quinta ($5$ casos diferentes). En cualquiera de esos casos, solo importa esa letra y las $3$ letras siguientes, por lo que la probabilidad de cada una de estas situaciones es $\frac{1}{8^4}$. Sin embargo, no simplemente se suman para obtener la respuesta, ya que entonces contaríamos una contraseña posible dos veces. Esa es "IDLEIDLE". Su probabilidad es $\frac{1}{8^8}$. Por lo tanto, la probabilidad final es $\frac{5}{8^4} - \frac{1}{8^8} = \frac{20479}{16777216}$
