¿Por qué no es una categoría?

Question

¿Por qué el compuesto de dos funciones monótonas no debe ser monótono?

Esto es de Anillos y Categorías de Módulos, Anderson, Fuller, página 7

Answer 1

En realidad la afirmación es falsa: la composición de funciones monótonas es monótona.

Es evidente que el compuesto de dos mapas que conservan el orden es de nuevo un mapa que conserva el orden. Si $f \colon P \to Q$ es un mapa monótono creciente y $g \colon Q \to R$ es un decreciente monótono es fácil ver que $$x \leq y \Rightarrow f(x) \leq f(y) \Rightarrow g(f(x)) \geq g(f(y))$$ y así $g \circ f$ es un mapa de orden inverso. Del mismo modo, para $f \colon P \to Q$ monótona decreciente y $g \colon Q \to R$ creciente. Por último, en el caso de que ambos $f \colon P \to Q$ y $g \colon Q \to R$ son monótonos decrecientes tenemos que $$x \leq y \Rightarrow f(x) \geq f(y) \Rightarrow g(f(x)) \leq g(f(y))$$ por lo que $g\circ f$ es monótona creciente.