si $ a \cdot b= a \cdot c $ y $ a \times b = a \times c $ ¿se deduce que $ b=c $ ?

Question

si $ a \cdot b= a \cdot c $ y $ a \times b = a \times c $ ¿se deduce que $ b=c $ ?

Sé que $ a \cdot b = a \cdot c $ no garantiza $ b = c$ demostrando mediante contraejemplo(a = (1,0), b = (0, 1), c= (0, -1)).

También sé que $ a \times b = a \times c $ poniendo a como (1, 0, 0), b como (0, 0, 1) y c como (1, 0, 1).

Pero si $ a \cdot b= a \cdot c $ y $ a \times b = a \times c $ ¿se deduce que $ b=c $ ?

Y también quiero saber si hay alguna forma de probar que $ a \times b = a \times c $ no se refiere a $ b = c$ por algún otro medio que no sea la exposición del contraejemplo?

Answer 1

$\def\\#1{{\bf#1}}$ Si $\\a,\\b,\\c$ son vectores en $\Bbb R^3$ y $\\a\ne\\0$ entonces esto es cierto. Prueba . Desde $$\\a\cdot(\\b-\\c)=0\quad\hbox{and}\quad \\a\times(\\b-\\c)=\\0\ ,$$ el vector $\\b-\\c$ es a la vez perpendicular y paralela a $\\a$ . Esto sólo es posible si $\\b-\\c=\\0$ .

Answer 2

He aquí una herramienta algebraica: si $v$ y $w$ son vectores en un espacio tridimensional con $v \times w = 0$ y $v \neq 0$ entonces hay un escalar $r$ tal que $w = rv$ .