Dejemos que $X > 0$ con densidad $f(x)$ y la función de distribución $F(x)$ . Demostrar que $E(X^2) = 2\int_0^\infty x(1−F(x))dx$ .
No tengo ni idea de por dónde empezar con esta pregunta.
Respuesta
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Obsérvese que la expectativa puede escribirse como sigue. Para una variable aleatoria no negativa $X$ , $$ \mathbf{E}X = \int_0^\infty \textbf{P}(X > t) dt.$$ Por lo tanto, \begin {align} \mathbf {E}X^2 &= \int_0 ^ \infty \textbf {P}(X^2 > t) dt= \int_0 ^ \infty \textbf {P}(X > \sqrt {t}) dt \\ &= \int_0 ^ \infty \textbf {P}(X > x) (2x)dx = 2 \int_0 ^ \infty x \textbf {P}(X > x) dx \end {align} donde $\sqrt{t} = x$ y $dt = 2xdx$ se utiliza en la tercera igualdad.
