Número de números naturales

Question

¿Podemos decir que

$\sum_{k=1}^{\infty} 1 =s(N)$ ,

donde $s(N)$ denota el número de números naturales?

Answer 1

La suma escrita arriba es divergente ... No podemos asignarle un valor. Nos puede Sin embargo, digamos que el conjunto de los números naturales es infinito contablemente . Además, desde una perspectiva teórica de conjuntos, podemos decir que $\Bbb N$ tiene cardinalidad (cantidad de elementos) $\aleph_0$ que se define como precisamente sea la cardinalidad de $\Bbb N$ . Es decir, cualquier conjunto contablemente infinito $S$ tiene cardinalidad $\aleph_0$ y, además, existe una biyección entre $S$ y $\Bbb N$ (que es como definimos los conjuntos incontables infinitos).

Answer 2

Aunque esto es poco ortodoxo y la mayoría de los escritores de esta página probablemente no estén de acuerdo, veo pocas razones para decir que no.

No es apropiado hablar de la número de los números naturales, pero el cardinalidad de $\mathbb N$ es algo bien definido y denotado por $\aleph_0$ .

Entonces la notación $\sum_{k=1}^\infty$ corresponde efectivamente a una enumeración exhaustiva de los términos naturales y sumatorios $1$ induce un recuento de los elementos (generaliza el caso finito).

Como $\sum_{k=1}^\infty1$ no está definida en la teoría de series porque diverge, supongo que es inocuo definirla como equivalente a $\aleph_0$ Siempre que no saques conclusiones incoherentes.

De todas formas, dado que no hay reglas de cálculo relevantes que valgan (no me refiero a los métodos de suma de series divergentes), veo poco útil esa definición.

Answer 3

Sencillamente, no, porque la suma no tiene sentido. Debe quedar claro que

$$\sum_{k=1}^N1\stackrel{N \to\infty}\to\infty\implies DNE$$

Por lo tanto, se limita a insinuar que hay una cantidad infinita de números naturales.

También se podría afirmar, por ejemplo, que

$$\sum_{k=1}^\infty2>\sum_{k=1}^\infty1$$

las sumas anteriores se traducen básicamente en que "hay el doble de números enteros que de números pares". Pero, por el contrario, esto no tiene sentido, ya que para cada número natural existe un número par que le corresponde. Por lo tanto, este razonamiento con sumas infinitas no puede hacerse de esta manera.

Para tener una idea de cuántos números naturales hay, se suele recurrir a la teoría de conjuntos, donde se encuentra que la cardinalidad de los naturales es $\aleph_0$ (aunque más o menos una definición)

Answer 4

Dejemos que $(a_k)$ sea una secuencia de números reales. La escritura " $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ " es un formal escritura - se llama la serie de término general $a_k$ . A una serie, se le asocia la secuencia de sumas parciales $(S_n)$ que se define como $S_n = \sum_{k=1}^n a_k$ . Si la secuencia $(S_n)$ converge a $S$ (un número real), entonces decimos que la serie $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ converge, y escribimos $\sum_{k=1}^{\infty}a_k = S$ . Si $(S_n)$ diverge, entonces decimos que $\sum_{k=1}^{\infty}a_k$ diverge; si $S_n \to \pm \infty$ escribimos $\sum_{k=1}^{\infty}a_k = \pm \infty$ Así pues, el $\pm \infty$ aquí es sólo un símbolo - en este caso $\sum_{k=1}^{\infty} a_k$ no tiene un "valor" o lo que sea.

No existe el "número de números naturales". Para hacerse una idea de cómo dar sentido a "cuántos" números naturales hay, consulte un libro de texto de introducción a la teoría de conjuntos.